洛咕 P3704 [SDOI2017]数字表格

大力推式子

现根据套路枚举\(\gcd(i,j)\)

\(ans=\Pi_{x=1}^nfib[x]^{\sum_{i=1}^{n/x}\sum_{j=1}^{n/x}[\gcd(i,j)=1]}\)

莫比乌斯反演

\(ans=\Pi_{x=1}^nfib[x]^{\sum_{i=1}^{n/x}\mu(i)(n/ix)(m/ix)}\)

把枚举\(i\)提出来，改成枚举\(ix\)，里面还是枚举\(x\)

\(ans=\Pi_{i=1}^n\Pi_{x|i}fib[x]^{\mu(i/x)(n/i)(m/i)}\)

有一个\((n/i)(m/i)\)，这个明显可以数论分块，但那个\(\mu(i/x)\)就不太好搞了，把他压进去

\(ans=\Pi_{i=1}^n(\Pi_{x|i}fib[x]^{\mu(i/x)})^{(n/i)(m/i)}\)

就可以预处理\(f[i]=(\Pi_{x|i}fib[x]^{\mu(i/x)})\)了

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
#define mod 1000000007
#define Mod 1000000006
typedef long long ll;
il int gi(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int pri[1000010],pr,mu[1000010],yes[1000010];
int fib[1000010],ifib[1000010];
int f[1000010],g[1000010];
il int Pow(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=1ll*ret*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;++i){
        if(!yes[i])mu[i]=-1,pri[++pr]=i;
        for(int j=1;i*pri[j]<=1000000&&j<=pr;++j){
            yes[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    fib[1]=1;for(int i=2;i<=1000000;++i)fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
    for(int i=1;i<=1000000;++i)ifib[i]=Pow(fib[i],mod-2);
    for(int i=1;i<=1000000;++i)f[i]=1;
    for(int i=1;i<=1000000;++i)
        for(int j=i;j<=1000000;j+=i)
            if(mu[j/i]==1)f[j]=1ll*f[j]*fib[i]%mod;
            else if(mu[j/i]==-1)f[j]=1ll*f[j]*ifib[i]%mod;
    for(int i=2;i<=1000000;++i)f[i]=1ll*f[i-1]*f[i]%mod;
    g[0]=1;for(int i=1;i<=1000000;++i)g[i]=Pow(f[i],mod-2);
    int T=gi(),n,m,ans;
    while(T--){
        n=gi(),m=gi();
        if(n>m)std::swap(n,m);
        ans=1;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            int j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans=1ll*ans*Pow(1ll*f[j]*g[i-1]%mod,(int)(1ll*(n/i)*(m/i)%Mod))%mod;
            i=j;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}