【hdu-2588】GCD(容斥定理+欧拉函数+GCD()原理)

GCD

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Problem Description

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

 

Input

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

 

Output

For each test case,output the answer on a single line.

 

Sample Input

3
1 1
10 2
10000 72

 

Sample Output

1

6

260

 

Source

ECJTU 2009 Spring Contest

 题目大意：　

　　第一行输入T，表示有T组数据。然后每一行输入N和M，分别表示所要求数的范围为1~N，比较值为M。

　题目意思很简单，就是求解，在数的范围内X∈[1~N],存在多少个X使得GCD(X,N)>=M，统计X符合要求的个数。

　用膝盖骨想想也知道，如果直接暴力遍历N次，每次操作的复杂度高达10^9,肯定会超时的。常规的方法肯定不行。

 

　①首先，补充一下关于GCD()的一些基础知识。

　　1，如果GCD(a,b)=c，则可以知道GCD(a/c,b/c)=1;(  GCD(a,b)=c  <=>  GCD(a/c,b/c)=1  )

　　2，设GCD(a,b)=c，如果想要GCD(a,b*d)=c，用①_1可知，

　　　　只需满足GCD(a/c,(b/c)*d)=1即可（这个限制既为,满足最大公约数的要求）.

 

　②然后，我们所要求的是GCD(X,N)>=M,也就是说我们要求一个GCD(X,N)=Z,的数，

　　1，如果M==1，则可以知道在[1,N]中任意数X的GCD(X,N)>=1,所以符合要求的个数为N。

　　2，如果M>1,则表示我们需要找一个GCD(X,N)>1的数。这样我们就知道X肯定会是N的除了1以外的约数、

　　因为，X只有是N除了1以外的约数，才可能会有GCD(X,N)>1存在。而且，GCD(N,X)=X;(约数嘛，你懂得~)

 

　③再者，我们需要统计的数符合要求的X的个数呢？

　　1,正如②_2可以知道GCD(N,X)=X,能够使得GCD()=X的数不一定只有X本身,说的正确点的应该是GCD(N,X*q)=X,

　　只需要计算1~N中有多少个（X*q）即可。但是，q是有受限制的，需要满足上述①_2的要求。

　　　　　　　　　（比如：GCD（15,5）=5，GCD（15,5*3）=15；）

　　2，由①_2可知，要使得GCD(N,X*q)=X，需要满足GCD(N/X,q)=1.也就是统计1~N/X中有多少个数与N/X互质。

   是不是觉得有点熟悉了的？=>求1~N中，有多少个与N互质的数，不就是欧拉函数嘛，SUM+=Eular(N/X);

　④最后，如何不重复的统计其公约数为符合条件X的数呢?

　　其实，你每次用欧拉函数统计出来的那些数，都是唯一的，如上面③_2所说的，q是有受限制的，因为这个限制，使得所求出的个数都为不重复的、所以，只需要统计N的符合要求的约数Xi，SUM+=Eular(N/Xi)，既为答案、

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 using namespace std;
 int Eular(int N)
 {
     ,i;
     ;i*i<=N;i++)
     {
         )
         {
             N/=i;sign*=i-;
             )
             {N/=i;sign*=i;}
         }
     }
     )
     sign*=N-;
     return sign;
 }
 int main()
 {
     int A,B,T,i,sign;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d",&A,&B);
         ,sign=;i*i<=A;i++)/*分解约数*/
            )       /*分解约数，同时判断两边*/
            {           /*如果为平方数则主需要判断一次*/
                 if(i>=B)
                     sign+=Eular(A/i);
                 if((A/i)!=i&&(A/i)>=B)/*判断是否为平方数*/
                     sign+=Eular(i);
            }
         printf("%d\n",sign);/*输出答案*/
     }
     ;
 }