poj3696 快速幂的优化+欧拉函数+gcd的优化+互质

这题满满的黑科技orz

题意：给出L，要求求出最小的全部由8组成的数(eg: 8,88,888,8888,88888,.......)，且这个数是L的倍数

sol：全部由8组成的数可以这样表示：((10^x)-1)*(8/9)

那么有m=((10^x)-1)*(8/9)=k*L，answer即满足条件的最小的x

性质1：若ax=by且a和b互质，那么说明a中没有任何b的质因子，b的质因子一定都在x里。所以x是b的倍数。

所以先想方设法在等式中构造两个互质的数以便化简。我们取p=8/gcd(8,L)，q=9*L/gcd(8,L)

那么有p*((10^x)-1)=q*k，且p与q互质【8/gcd(8,L)与L/gcd(8,L)一定互质。8又没有3这个质因子，所以9*L/gcd(8,L)还是会互质】

所以由性质1，(10^x)-1是q的倍数。

所以(10^x)-1=0　　(mod q)

　　(10^x)=1　　（mod q)

性质2：欧拉定理。对于正整数a,n，若gcd(a,q)=1，则有a^phi(q)=1　　(mod q)　　　　【其中phi是欧拉函数】

这个式子是不是和上面很像呢~

所以若gcd(10,q)=1说明有解，否则无解

对于有解的情况，x=phi(q)就是一个解，但不一定是最小解。actually，0---phi(q)中还可能存在解。

性质3：因为后面有mod n，而余数都是有循环节的。（即一个循环周期的长度，设为r）

eg：如果有10^a=1  (mod q)，那么10^(a+r)=1  (mod q)

首先x=0是一个解【10^0=1  (mod q)】。而且已经确定phi(q)也是一个解了。所以phi(q)一定是这个循环节r的倍数。

根据性质3，r肯定也是一个解。而且是最小的。

所以只要枚举phi(q)的约数，找出其中最小的满足条件的即可。

-----------------------接下来是满满的黑科技orz----------------------

Q1：本题数据很大，求gcd的过程会TLE肿么办

A1：因为gcd里面有一个数字是固定的，所以可以用一下黑科技

        //q=9*N/gcd(8,N);
        q=*N;
        for (int i=;i<;i++)
            if (q%==)
                q=q/;
            else break;
要求的是q/gcd(8,N)
而8分解质因数之后是2^3，也就是说带8的gcd里面最多也只可能有3个2。所以直接把这3个2能除掉的都除掉就行了

        //if (gcd(10,q)!=1)    ans=0;
        if  ((q%==)||(q%==))
            ans=;
10的质因子只有2和5。如果q是2或5的倍数，就说明q和10不互质。

Q2：求快速幂取模(10^x)%q的时候，数据超了long long的范围，会出错

A2：这样：

LL func(LL a,LL b,LL c)     //a*b%c
{
    long long ret = ;
    while (b)
    {
        if (b & )
            ret = (ret + a) % c;
        a =  * a % c;
        b >>= ;
    }
    return ret;
}

LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD)
{
    if (a==)   return ;
    LL t=a%MOD,ans=;
    while(b)
    {
        if (b&)
            ans=func(ans,t,MOD);
        t=func(t,t,MOD);
        b>>=;
    }
    return ans;
}

其实我也没看懂func是个什么鬼。。。。【逃

AC Code：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define MAXL 1000

 LL TC=;
 LL N,MOD,TM,q,ans;
 int phi[MAXL+];

 int gcd(int a,int b)                   //辗转相除法，返回gcd(a,b)
 {
     if (b==) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }

 long long euler(long long n)
 {
     long long ret = n;
     for (long long i = ; i * i <= n; i++)
         if (n % i == )
         {
             ret = ret / i * (i - );
             while (n % i == )
                 n /= i;
         }
     if (n > )
         ret = ret / n * (n - );
     return ret;
 }

 /*
 LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD)
 {
     if (a==1)   return 1;
     LL t=a%MOD,ans=1;
     while(b)
     {
         if (b&1)
             ans=ans*t%MOD;
         t=t*t%MOD;
         b>>=1;
     }
     return ans;
 }
 */

 LL func(LL a,LL b,LL c)     //a*b%c
 {
     long long ret = ;
     while (b)
     {
         if (b & )
             ret = (ret + a) % c;
         a =  * a % c;
         b >>= ;
     }
     return ret;
 }

 LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD)
 {
     if (a==)   return ;
     LL t=a%MOD,ans=;
     while(b)
     {
         if (b&)
             ans=func(ans,t,MOD);
         t=func(t,t,MOD);
         b>>=;
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     //calc_phi(MAXL);
     while (~scanf("%I64d",&N))
     {
         TC++;
         if (N==)   break;
         //q=9*N/gcd(8,N);
         q=*N;
         for (int i=;i<;i++)
             if (q%==)
                 q=q/;
             else break;

         TM=euler(q);    //tm=phi[q];
         ans=TM;
         //if (gcd(10,q)!=1)
         if  ((q%==)||(q%==))
             ans=;
         else
         {
             for (LL i=; i*i<=TM; i++)
                 if (TM%i==)
                 {
                     LL t1=i,t2=TM/i;
                     LL M1=pow_mod(,t1,q);
                     LL M2=pow_mod(,t2,q);
                     //cout<<t1<<" "<<M1<<endl<<t2<<" "<<M2<<endl;
                     if ((M1==)&&(t1<ans))
                         ans=t1;
                     if ((M2==)&&(t2<ans))
                         ans=t2;
                 }
         }
         printf("Case %d: ",TC);
         cout<<ans<<endl;
     }
 }

 /*
 LL len,tmp,N;
 int TC=0;
 bool ok;

 int main()
 {
     while(~scanf("%I64d",&N))
     {
         TC++;
         if (N==0)   break;
         tmp=8;
         len=1;
         ok=false;
         if (tmp%N==0)   ok=true;
         while ((!ok)&&(len<=MAXL))
         {
             tmp=tmp*10+8;
             len++;
             if (tmp%N==0)
                 ok=true;
         }
         if (ok)
             printf("Case %d: %I64d\n",TC,len);
         else
             printf("Case %d: 0\n",TC);
     }

     return 0;
 }
 */

Reference:

http://www.cnblogs.com/rainydays/archive/2012/11/05/2754760.html

http://blog.csdn.net/yhrun/article/details/6908470