CH1809 匹配统计 题解

看了好久才懂，我好菜啊……

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题意：给两个字符串 \(a\) 与 \(b\)，对于 \(q\) 次询问，每次询问给出一个 \(x\)，求存在多少个位置使得 \(a\) 从该位置开始的后缀子串与 \(b\) 匹配的长度恰好为 \(x\)。

这题可以 Hash+二分 \(O(n\log n)\) 过，还有一个高端做法是扩展 KMP（然而并不会

正解的话，还是 KMP。但此题对 KMP 的理解还是要求很高啊。

对 \(b\) 求一遍 \(nxt\)，再求 \(a\) 的 \(f\)。那么根据定义，\(f_i=j\) 表示 \(a_{i-j+1\sim i}=b_{1\sim j}\)，换句话说，\(a\) 从 \(i-j+1\) 开始的后缀与 \(b\) 的匹配长度至少为 \(j\)。

由于我们只是求出了至少，但题目问的是精确值，那么做一个转换，开一个桶 \(cnt\)，\(cnt_i\) 表示匹配长度至少为 \(i\) 的位置有几个，那么对于每一个询问，答案就是 \(cnt_x-cnt_{x+1}\)。

求完 \(f\) 后，我们把它扔进桶里。

还没完，考虑一下到现在为止 \(cnt\) 里存了什么，我们发现现在的 \(cnt_i\) 存的位置个数并没有覆盖所有的情况，也就是说我们要做一个后缀和来覆盖这些情况。

如何做后缀和？根据 KMP 的性质，如果 \(a[i-j+1\sim i]=b[1\sim j]\)，那么 \(a[i-j+1\sim i-j+nxt[j]]=b[1\sim nxt[j]]\) 同样成立，并且中间的都不成立，也就是说，\(nxt[j]\) 是次选项。进一步地，\(nxt[nxt[j]],nxt[nxt[nxt[j]]],...\)都是满足条件的选项，这样我们的答案就得到了扩展并覆盖了所有情况。

所以我们倒序枚举 \(m\)，后缀和的递推式就是cnt[nxt[i]]+=cnt[i]。

本题真心很难理解（好像字符串题就没有好理解的），一定要多画图，把抽象描述形象化。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,m,q,nxt[N],f[N],cnt[N];
char a[N],b[N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    scanf("%s %s",a+1,b+1);
    for(int i=2,j=0;i<=m;++i)
    {
        while(j>0&&b[i]!=b[j+1]) j=nxt[j];
        if(b[i]==b[j+1]) ++j;
        nxt[i]=j;
    }
    for(int i=1,j=0;i<=n;++i)
    {
        while(j>0&&a[i]!=b[j+1]) j=nxt[j];
        if(a[i]==b[j+1]) ++j;
        f[i]=j;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[f[i]];
    for(int i=m;i;--i) cnt[nxt[i]]+=cnt[i];
    while(q--)
    {
        int x; scanf("%d",&x);
        printf("%d\n",cnt[x]-cnt[x+1]);
    }
    return 0;
}