P3964-[TJOI2013]松鼠聚会【计算几何】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3964

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题目大意

给出\(n\)个点，求一个点使得它到所有点的切比雪夫距离和最小。

\(0\leq n\leq 10^5,-10^9\leq x_i,y_i\leq 10^9\)

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解题思路

额切比雪夫距离看起来舒服实则难搞，因为其实是横纵坐标距离的最大值然后还得求和

所以我们可以转成曼哈顿的就是把\((x,y)\)变成\((\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\)

然后每个点的横纵坐标分开算距离求和就可以知道每个点的答案了。

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,x[N],y[N],p[N],s[N];
bool cmpx(ll a,ll b)
{return x[a]<x[b];}
bool cmpy(ll a,ll b)
{return y[a]<y[b];}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	ll px=0,sx=0,py=0,sy=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll X,Y;
		scanf("%lld%lld",&X,&Y);
		x[i]=X+Y;y[i]=X-Y;
		sx+=x[i];sy+=y[i];
		p[i]=i;
	}
	sort(p+1,p+1+n,cmpx);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		sx-=x[p[i]];
		s[p[i]]=sx-x[p[i]]*(n-i)+x[p[i]]*(i-1)-px;
		px+=x[p[i]];
	}
	sort(p+1,p+1+n,cmpy);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		sy-=y[p[i]];
		s[p[i]]+=sy-y[p[i]]*(n-i)+y[p[i]]*(i-1)-py;
		py+=y[p[i]];
	}
	ll ans=1e18;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		ans=min(ans,s[i]);
	printf("%lld\n",ans/2ll);
	return 0;
}