洛谷P1337 【[JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX】（模拟退火）

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很可惜，充满Mo力的Mo拟退火并不是正解。不过这是一道最适合开始入手Mo拟退火的好题。

对模拟退火还不是很清楚的可以看一下

这道题还真和能量有点关系。达到平衡稳态的时候，物体的总能量应该是最小的。而总的能量来源于每个物体的重力势能之和。要想让某个物体势能减小，那就让拉着它的绳子在桌面下方的长度尽可能的长，也就是桌面上的要尽可能短。由此看来，某个物体的势能与桌面上的绳子的长度、物体重量都成正比。

于是，为了找到平衡点，我们要找一个点使得\(\sum_{i=1}^n d_i*w_i\)最小（\(d_i\)为\(i\)点到该点的距离）。

函数已经求出来了，接下来就是正常的模拟退火过程。注意一些细节就好了。

首先，初始解可以设成\(({\sum_{i=1}^n x_i\over n},{\sum_{i=1}^n y_i\over n})\)，可以更接近正解

解变动值最好随机两个值，\(\Delta x\)和\(\Delta y\)。随机变动距离和角度可能常数有点大。

然后是写法问题。蒟蒻又学习了一招，知道有一个常数叫RAND_MAX，用于生成\([0,1)\)的随机值还是很方便的，在不同机子下可移植性也很强。（难怪Windows上rand出来的都是短整形数）

另外，因为退火的时候有可能本来找到了最优解，但后来接受了较劣解并逐步降温稳定了，那么也就是说本来找到的最优解到最后却给弄丢了。

为了避免这种情况，蒟蒻参考YL的做法，设一个全局最优解best，它只接受比自己更优的解。

而且这样还有一个好处，就是进行多次退火的过程中，也能保证best是单调递减的，无论如何也不会变劣。

最后就是调参数的问题了。

发现自己写了个假的模拟退火以后，蒟蒻马上一改，却发现参数又需要重新调。。。。。。（YL据老也背了锅）

拼命的二分，二分。。。。。。参数大得都要TLE了还是不能保证正确率？！

结果小号提交记录第二次刷屏了（第一次还是打表过洛谷愚人节T3。。。。。。）

后来突然猛地一想：\(n,x,y,w\)都不小，乘来乘去不会掉精度了吧？

于是改用long double继续，情况好多了

update:

可能发现在哪里咕咕了，应该不是\(n,x,y,w\)的问题。

随机变动距离写的是T*(rand()*2-RAND_MAX)，也就意味着生成了一个\([-T*RAND\_MAX,T*RAND\_MAX)\)的数。

这没有错，因为RD的值域确实与T成正比，但不对劲的是它太大了，难道是因为这里爆double精度？

可是看到其它巨佬用double没出锅诶。。。

其实还有一个优化就是，退火结束后从best处向小范围内rand一些点，rand个千把次，找最优的一个点作为答案。

这样比多次退火效率高了不少，就更容易弥补之前没找到最优解的遗憾了。

听XZY大佬的讲课学的，stO XZY Orz

代码蒟蒻就懒得重写了。。。。。。（连个理由都懒得找）

下面的参数可供参考，因为D算是很小的了，所以跑得快多了，只要28ms

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define RG register
#define R RG long double
#define RD T*(rand()*2-RAND_MAX)//生成一个[-T*RAND_MAX,T*RAND_MAX)的随机变动距离
//以前写的是T*((double)rand()/RAND_MAX*2-1)，总是WA（可能是先除后乘掉精度了），然后就参考了YL的写法
const int N=1009;
const long double D=0.97,EPS=1e-14;//更新后二分出了保证极高正确率和较高效率的参数
double x[N],y[N],w[N];
int n;
inline long double calc(R x0,R y0){
    R res=0,dx,dy;
    for(RG int i=1;i<=n;++i){//函数求值
        dx=x[i]-x0;dy=y[i]-y0;
        res+=sqrt(dx*dx+dy*dy)*w[i];
    }
    return res;
}
int main(){
    R T,x0,y0,x1,y1,res,ans,best,bx=0,by=0;
    RG int i,times=1;//一次的正确率很高的，不放心也可以调大
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lf%lf%lf",&x[i],&y[i],&w[i]);
        bx+=x[i];by+=y[i];
    }//初始横纵坐标均选择平均值
    best=ans=calc(bx/=n,by/=n);
    srand(time(NULL));
    while(times--/*clock()<CLOCKS_PER_SEC*0.9*/){//比赛的时候试试注释里写的，卡时还是靠谱些
        ans=best;x0=bx;y0=by;
        for(T=100000;T>EPS;T*=D){
            x1=x0+RD;y1=y0+RD;
            res=calc(x1,y1);
            if(best>res)
                best=res,bx=x1,by=y1;//更新最优答案
            if(ans>res||exp((ans-res)/T)>(long double)rand()/RAND_MAX)
                ans=res,x0=x1,y0=y1;//接受新解
        }
    };
    printf("%.3Lf %.3Lf\n",bx,by);
    return 0;
}