【BZOJ4031】小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

【题解】

果果的矩阵树定理

构造邻接矩阵与度数矩阵之差的矩阵，求行列式；

由于：任意一行乘以一个常数加到另一行，矩阵的行列式不变。

又知：三角矩阵（上三角及下三角矩阵）的行列式就是它对角线上所有元素的乘积。

所以求出三角矩阵求行列式即可。

【code】

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define pb push_back
 #define ll long long
 #define ull unsigned long long
 #define file(s) freopen("s.in","r",stdin),freopen("s.out","w",stdout)
 #define rep(k,i,j) for(int k = i;k <= j; ++k)
 inline int read(){
     int x = ,f = ; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+ch-''; ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 const int mxn = +;
 const int mod = 1e9;
 int n,m,tot;
 int s[mxn][mxn];
 ll c[mxn][mxn];

 inline void in(){
 //    tot = 0;
     n = read(),m = read();
     rep(i,,n){
         char ch;
         rep(j,,m){
             cin >> ch;
             if(ch=='.') s[i][j] = ++tot;
         }
     }
 }
 inline void add(int x,int y){
     if(x>y) return;
     c[x][x]++,c[y][y]++;
     c[x][y]--,c[y][x]--;
 }
 inline void prewor(){
     rep(i,,n){
         rep(j,,m){
             if(!s[i][j]) continue;
             if(s[i-][j]) add(s[i][j],s[i-][j]);
             if(s[i+][j]) add(s[i][j],s[i+][j]);
             if(s[i][j-]) add(s[i][j],s[i][j-]);
             if(s[i][j+]) add(s[i][j],s[i][j+]);
         }
     }
 }
 inline int gauss(){
     int ans = ;
     for(int i = ;i < tot; ++i){
         for(int j = i+;j < tot; ++j){
             while(c[j][i]){
                 int rate = c[i][i]/c[j][i];
                 for(int k = i;k < tot; ++k)
                     c[i][k] = (c[i][k]-rate*c[j][k]+mod)%mod;
                 swap(c[i],c[j]);
                 ans = -ans;
             }
         }
         ans = (ans*c[i][i])%mod;
     }
     return (ans+mod)%mod;
 }
 inline void print(){
     printf("%d\n",gauss());
 }
 int main(){
 //    file();
     in();
     prewor();
     print();
     return ;
 }