BZOJ 3028 食物 (生成函数+数学题)

题面：BZOJ传送门

题目让我们求这些物品在合法范围内任意组合，一共组合出$n$个物品的方案数

考虑把每种食物都用生成函数表示出来，然后用多项式乘法把它们乘起来，第$n$项的系数就是方案数

汉堡：$1+x^{2}+x^{4}+x^{4}...=\frac{1}{1-x^{2}}$

可乐：$1+x$

鸡腿：$1+x+x^{2}$

蜜桃：$x+x^{3}+x^{5}+x^{7}...=\frac{x}{1-x^{2}}$

鸡块：$1+x^{4}+x^{8}+x^{12}..=\frac{1}{1-x^{3}}$

包子：$1+x+x^{2}+x^{3}=(1+x)(1+x^{2})$

土豆：$1+x$

面包：$1+x^{3}+x^{6}+x^{9}...=\frac{1}{1-x^{3}}$

数据范围非常大，直接上生成函数会炸，而且模数也不支持$NTT$

把这些多项式乘起来，化简可得$f(x)=\frac{x}{(1-x)^{4}}$

一种做法是求导，再代入泰勒展开，然而我太弱了并没有推明白式子

$f(x)=\frac{x}{(1-x)^{4}}=x(\frac{1}{(1-x)})^{4}$

考虑$\frac{1}{1-x}$的本质，就是$1+x+x^{2}+x^{3}...$

而它的四次方就是$1+4x+10x^{2}+20x^{3}..$

即$C_{3}^{0}+C_{4}^{1}x+C_{5}^{2}x^{2}+C_{6}^{3}x^{3}...$

这不就是个躺着的杨辉三角么，那么第$n$项的结果就是$C_{n+3}^{n}$

然而还有一项$x$没算进去，相当于把整个多项式右移一位，即答案左移一位

最终答案变成了$C_{n+2}^{n-1}$

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define ll long long
 #define dd double
 #define N1 1010
 using namespace std;

 const int mod=;

 int gint()
 {
     int ret=,fh=; char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')fh=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
     return ret*fh;
 }

 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if(!b){ x=; y=; return; }
     exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
 }
 char str[N1];
 int a[N1],n;

 int main()
 {
     scanf("%s",str+);
     int ret=,i; n=strlen(str+);
     for(i=;i<=n;i++) ret=(ret*+str[i]-'')%mod;
     ll inv,invy; ret=1ll*(ret+)*(ret+)%mod*(ret)%mod;
     exgcd(,mod,inv,invy); inv=(inv%mod+mod)%mod; ret=1ll*ret*inv%mod;
     exgcd(,mod,inv,invy); inv=(inv%mod+mod)%mod; ret=1ll*ret*inv%mod;
     printf("%d\n",ret);
     return ;
 }