BZOJ2154: Crash的数字表格 & BZOJ2693: jzptab
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简要题意:
给出n,m,求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}LCM(i,j)$
题解:
莫比乌斯反演(因为BZOJ2693是多组数据,数据强一点,所以代码用BZOJ2693的)
设n<m,原式等于$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}i*j/gcd(i,j)$
然后枚举d值作为i和j的gcd,得到$$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{i*j}{d}[gcd(i,j)==d]$$
因为gcd(i,j)==d,所以gcd(i/d,j/d)==1,得到$$\sum_{d=1}^{n}d*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}i*j[gcd(i,j)==1]$$
因为莫反的性质:$\sum_{d|x}\mu(d)=[x==1]$,所以转化为$$\sum_{d=1}^{n}d*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}i*j*\sum_{t|gcd(i,j)}\mu(t)$$
交换和式得到$$\sum_{d=1}^{n} d* \sum_{t=1}^{\frac{n}{d}} \mu(t) * \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}} i*j[gcd(i,j)==t]$$
$$\sum_{d=1}^{n}d*\sum_{t=1}^{\frac{n}{d}}t^{2}*\mu(t)*\sum_{i=1}^{\frac{n}{dt}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{dt}}i*j$$
设$T=dt$,$S(x)=\sum_{i=1}^{x}i$,得到$$\sum_{d=1}^{n}\sum_{t=1}^{\frac{n}{d}}T*t*\mu(t)*S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})$$
将$S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})$提前,得到$$\sum_{T=1}^{n}T*S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})\sum_{d|T}d*\mu(d)$$
因为$S(\frac{n}{T})*S(\frac{m}{T})$可以前缀和预处理,显然我们只要将$\sum_{d|T}d*\mu(d)$快速求出就可以了
设$F(T)=\sum_{d|T}d*\mu(d)$,显然是一个积性函数,在线性筛的时候求就行了
然后将$T*F(T)$求前缀和,然后整除分块加速就能过了
参考代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int prime[],v[];
LL f[],sum[];
LL Mod=1e8+;
void pre(int n)
{
f[]=;
int tot=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(v[i]==)
{
v[i]=i;
prime[++tot]=i;
f[i]=(-i+Mod)%Mod;
}
for(int j=;j<=tot;j++)
{
if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
v[i*prime[j]]=prime[j];
if(i%prime[j]==){f[i*prime[j]]=f[i]%Mod;break;}
else f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%Mod;
}
}
for(int i=;i<=n;i++) f[i]=(f[i]*LL(i)%Mod+f[i-])%Mod;
for(int i=;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-]+LL(i))%Mod;
}
int main()
{
pre();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
LL ans=;
for(int i=,j;i<=n;i=j+)
{
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans=(ans+(f[j]-f[i-]+Mod)%Mod*sum[n/i]%Mod*sum[m/i]%Mod)%Mod;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
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