【题解】Atcoder ARC#90 F-Number of Digits

　　Atcoder刷不动的每日一题...

　　首先注意到一个事实：随着 \(l, r\) 的增大，\(f(r) - f(l)\) 会越来越小。考虑暴力处理出小数据的情况，我们可以发现对于左端点 \(f(l) <=  7\) 的情况下，右端点的最大限度为 \(\frac{10^8}{8} + 10^7\) 。这个范围并不大，可以直接用 two-pointer 处理出来。

　　那么这部分的数据和后面的数据有什么不同呢？ 当 \(f(l) > 7\) 的时候，\(f(r) - f(l) <= 1\)。那么设 \(l = f(l)\)，我们有：

　　\( x * l + y * (l + 1) = S \)

令 \( t = x + y \)

　原式等于 \( t * l + y = S \)；

　　我们令 \(x + y > y\) ，即 \( x != 0 \)，那么最后一个式子实际上表达的是 \( y = S \ mod \ t \)。也就是说，对于任何的一个确定的 \(t\)，（当 \(l\) 的范围 \(> 7\)）我们都可以找到唯一对应的 \(x, y\) 与之对应。那么我们就可以扫一遍所有的 \(t\)以求得答案。注意当 \( y = 0 \) 时，对答案的贡献为这个数字范围内所有长为 \(t\) 的区间。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 23000000
#define int long long
#define mod 1000000007
int digit[maxn], ans, S;

int read()
{
    int x = , k = ;
    char c; c = getchar();
    while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; c = getchar(); }
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * k;
}

int Qpow(int times)
{
    int x = , base = ;
    for(; times; times >>= , x = x * x % mod)
        if(times & ) base = base * x % mod;
    return base;
}

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }
signed main()
{
    S = read(); int lim = S / , now = ;
    for(int i = ; i < maxn; i ++) digit[i] = digit[i / ] + ;
    for(int i = , now = , tem = ; i < 1e7; i ++)
    {
        while(tem < S) { tem += digit[now]; now ++; }
        if(tem == S) { ans += ; if(ans >= mod) ans -= mod; }
        tem -= digit[i];
    }
    for(int i = ; i <= lim; i ++)
    {
        if(!(S % i))
        {
            int l = S / i, sum = Qpow(l - ) *  % mod;
            Up(ans, (sum - i +  + mod) % mod);
        }
        else
        {
            int l = (S - S % i) / i;
            ans += ; if(ans >= mod) ans -= mod;
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return ;
}