【题解】打地鼠 SDOI2011 模拟 行列无关

Prelude

为什么洛谷上的题解都是剪枝做的啊！就没有人写复杂度靠谱的算法吗！

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Solution

首先\(O(n^6)\)，或者是\(O(n^4 \log^2 n)\)的模拟非常好想，枚举锤子的长宽，然后从左上角开始挨个砸就可以了。

枚举的复杂度是\(O(n^2)\)的，模拟一次的复杂度是\(O(n^4)\)的，也可以用BIT做到一次模拟\(O(n^2 \log^2 n)\)。

仔细想了想发现似乎没法合理枚举，那就只能发掘性质了。

直觉告诉我似乎是行列无关的。

具体来说，我们首先固定锤子的长为1，然后枚举锤子的宽，求出当长为1的时候最大可行的宽，叫做\(c\)。

然后再固定锤子的宽为1，枚举锤子的长，求出当宽为1的时候最大可行的长，叫做\(r\)。

上面两步可以用\(O(n^4)\)的暴力模拟来做，或者是用BIT做到\(O(n^3 \log n)\)。

那么这个\(r\)和\(c\)就是最终答案。

试着证明了一下，确实是这样的，具体证明我没有仔细想，大概感觉是从“每个格子被敲打的次数是行列无关的”这条入手？

然后就A掉了。

因为我比较懒，所以写的是\(O(n^4)\)的方法，毕竟这个模拟常数小嘛，\(O(n^4)\)过100肯定没问题啦。

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Code

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int MAXN = 110;
int _w;

int n, m, a[MAXN][MAXN], tot;
int r, c, b[MAXN][MAXN];
int t[MAXN][MAXN];

bool check( int x ) {
	for( int i = 1; i <= r; ++i )
		for( int j = 1; j <= c; ++j )
			t[i][j] = b[i][j];
	for( int i = 1; i <= r; ++i )
		for( int j = 1; j <= c-x+1; ++j )
			for( int k = j+x-1; k >= j; --k )
				t[i][k] -= t[i][j];
	for( int i = 1; i <= r; ++i )
		for( int j = 1; j <= c; ++j )
			if( t[i][j] ) return false;
	return true;
}

void solve() {
	r = n, c = m;
	for( int i = 1; i <= r; ++i )
		for( int j = 1; j <= c; ++j )
			b[i][j] = a[i][j];
	for( int x = c; x >= 1; --x )
		if( check(x) ) {
			tot /= x;
			break;
		}
	r = m, c = n;
	for( int i = 1; i <= r; ++i )
		for( int j = 1; j <= c; ++j )
			b[i][j] = a[j][i];
	for( int y = c; y >= 1; --y )
		if( check(y) ) {
			tot /= y;
			break;
		}
	printf( "%d\n", tot );
}

int main() {
	_w = scanf( "%d%d", &n, &m );
	tot = 0;
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		for( int j = 1; j <= m; ++j ) {
			_w = scanf( "%d", &a[i][j] );
			tot += a[i][j];
		}
	solve();
	return 0;
}