[bzoj3462]DZY Loves Math II (美妙数学+背包dp)
Description
Input
第一行,两个正整数 S 和 q,q 表示询问数量。
接下来 q 行,每行一个正整数 n。
Output
输出共 q 行,分别为每个询问的答案。
Sample Input
9
29
1000000000000000000
Sample Output
9
450000036
HINT
感谢the Loser协助更正数据
对于100%的数据,2<=S<=2*10^6,1<=n<=10^18,1<=q<=10^5
这个题面让人很费解啊
其实题意还是挺简洁的
首先对S分解质因数
如果有相同的因数出现了多次,那么$lcm(p_1,p_2,p_3...p_k)=S$一定不能被满足
此时直接特判输出Q个0即可
(这10分这么好拿还想什么正解hhh)
接下来要做的,是取一定数量的每个$p_i$,使他们的和为$n$
假设$n=\sum{p_i*c_i}$,即$p_i$对应取$c_i$个
由$p_i$是S的因数,可得$p_i*c_i$一定可以表示成$X*S+Y*p_i$
将$p_i$除过去,得到$c_i=X*\frac{S}{p_i}+Y$
那么就可以把$c_i$分成+号前后两部分,不同的$X$和不同的$Y$都会导致方案不同
设前半部分为$a_i$,后半部分为$b_i$
将$c_i\ mod\ \frac{S}{p_i}$得到后半部分,这部分的方案数用多重背包解决
则背包大小不超过$k*S$(每个物品不超过$\frac{S}{p_i}$),
之后我们考虑$a_i$部分,分配每一个$X$等价于将$\frac{S}{p_i}$个物品放到k个盒子内(可空),
利用隔板法得到方案数为$C_{\frac{S}{p_i}+k-1}^{k-1}$
直接打表求k范围内的阶乘逆元,暴力求排列再$*(m-1)$的阶乘逆元即可
$a_i\ b_i$的贡献是相对独立的,所以可以直接相乘
但这样可能包含了几倍的S,
而通过枚举一个倍数m( $p_1*b_1+p_2*b_2+...+p_k*b_k=n-m*S$ )即可得到结果
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=;
const ll mod=1e9+;
int S,Q,tot=,sumf;
int fact[];
int sz,f[],g[],mu[],pr[];
bool v[];
ll n,side,inv[],fac[];
void dp()
{
f[]=;
for(int i=;i<=sz;i++)
{
for(int j=;j<fact[i];j++)
{
ll tmp=;
for(int k=j;k<=side;k+=fact[i])
{
tmp=(f[k]+tmp)%mod;
if(k>=S)tmp=(tmp-f[k-S])%mod;
g[k]=tmp;
}
}
for(ll j=;j<=side;j++)f[j]=g[j];
}
}
ll qpow(ll a,ll b)
{
ll res=;
for( ;b;b>>=,a=a*a%mod)
if(b&)res=res*a%mod;
return res;
}
ll C(ll x,ll y)
{
ll res=;
for(ll i=x;i>=x-y+;i--)res=res%mod*(i%mod)%mod;
res=res%mod*(inv[y]%mod)%mod;
return res;
}
void prime()
{
mu[]=;int num=;
for(int i=;i<=S;i++)
{
if(!v[i])pr[++num]=i,mu[i]=-;
for(int j=;j<=num;j++)
{
if(i*pr[j]>S)break;
v[i*pr[j]]=;
if(i%pr[j])mu[i*pr[j]]=-mu[i];
else
{
mu[i*pr[j]]=;
break;
}
}
}
for(int i=;i<=num;i++)
if(S%pr[i]==)fact[++sz]=pr[i],sumf+=pr[i];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&S,&Q);
prime();
if(!mu[S])
{
while(Q--)puts("");
return ;
}
side=S*sz;
inv[]=fac[]=;
for(ll i=;i<=sz;i++)
fac[i]=fac[i-]*i%mod;
inv[sz]=qpow(fac[sz],mod-);
for(int i=sz-;i;i--)
inv[i]=inv[i+]*(i+)%mod;
dp();
while(Q--)
{
scanf("%lld",&n);
if(n<sumf)
{
puts("");
continue ;
}
n-=sumf;
ll tm=n/S,ans=;
for(ll i=;i<=sz;i++)
{
if(n-i*S<)break;
ll now=i*S+n%S;
if(now>side)continue;
ans=(ans+(ll)f[now]*C(tm-i+sz-,sz-))%mod;
}
printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}
return ;
}
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