浅谈Meet in the middle——MITM
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\(\mathrm{Meet\;in\;the\;middle}\)(简称 \(\rm MITM\)),顾名思义就是在中间相遇。
可以理解为就是起点跑搜索树基本一半的状态,终点也跑搜索树基本一半的状态,最后撞到中间,一种类似双向 DFS 的东西。优化还是不错的awa,减少了差不多一半。
时间复杂度可如下分析:
设向外搜索 \(n\) 层需要的代价为 \(k(n)\)。如果不用 \(\textrm{MITM}\),那么复杂度显然是 \(\mathcal O(k(n))\)。
以下提供两种做法:
- 方法 \(1\):由 \(\rm MITM\) 定义得,从起点搜索到一半的代价为 \(k\left(\dfrac{n}{2}\right)\),从终点搜索到一半的代价也为 \(k\left(\dfrac{n}{2}\right)\),总代价为 \(2\cdot k\left(\dfrac{n}{2}\right)\),省略常数,得时间复杂度 \(\mathcal O\left(k\left(\dfrac{n}{2}\right)\right)\)。
- 方法 \(2\):设搜索树起点与终点为 \(A,B\) 连接 \(B\) 与搜索树左右边缘中点,再连接两个左右边缘中点,将搜索树分为四个面积相等区块,\(\rm MITM\) 仅搜索其中两个区块,得时间复杂度为 \(\mathcal O\left(k\left(\dfrac{n}{2}\right)\right)\)。
这种算法吧,对于 \(k(n)=n^2\) 时,朴素算法为 \(n^2\),\(\rm MITM\) 为 \(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2=\dfrac{n^2}{4}\),优化了 \(\dfrac{1}{4}\) 复杂度。线性的优化,在数据大时效果明显。但是如果 \(k(n)=2^n\),那么朴素算法为 \(2^n\),\(\rm MITM\) 为 \(2^{\frac{n}{2}}=\sqrt{2^n}\)。
显然从一个节点出发进行搜索这题肯定会超时的
对于一个 \(9\) 位数,一共有 \(9\) 种可能的 \(+1\) 操作(每一个数位都可以 \(+1\)),一共有 \(8\) 种可能的交换操作,共 \(17\) 种操作。乘法原理得如果向外搜 \(10\) 层复杂度是 \(17^{10}\)使用某 Windows 常用计算小工具得 \(17^{10}=2015993900449\) 假设计算机 \(1ms\) 运行 \(10^4\) 次操作还是不能 \(1s\) 解决,显然 \(\bold{\rm TLE}\)。
告诉起始点来个 \(\rm MITM\) 双向就珂以了,\(17^5=1419857\),就算是 \(1ms\) 跑 \(10^2\) 的老爷机跑的差不多才 \(0.1s\)。
这题 \(\rm BFS\) 可能会浪费点时间还是 \(\rm DFS\) 好awa
注意用个 \(\rm hash\),别 \(\rm MLE\) 了
- 例题2
原题在 \(\rm codevs\) 众所周知 \(\rm codevs\) \(\dots\dots\)
有 \(n\) 个砝码,现在要称一个质量为 \(m\) 的物体,请问最少需要挑出几个砝码来称?
注意一个砝码最多只能挑一次。\(1\le n\le 30\),\(1\le m\le 2^{31}\),\(1\le \text{每个砝码的质量}\le 2^{30}\)
看起来像是背包??(
解法 \(1\):暴!力!出!奇!迹!一发爆搜切!掉!!
记得优化awa- 用后缀和优化
- 用读优
- 如果当前使用的砝码数 \(\ge\) 当前最优解,\(\rm return\)(最优性剪枝);
- 深搜之前按从大到小排序(改变搜索顺序),\(\text{当前总重量}+\text{当前砝码重量}<m\)(最优性剪枝) ,\(\rm return\);
- 如果 \(\text{当前总重量}+\text{当前砝码重量}>m\) ,换下一个砝码(可行性剪枝),注意不要 \(\rm return\);
然后就可以写出代码了:
解法 \(2\):用 \(\rm MITM\),如果后 \(\dfrac{1}{2}\) 发现有 \(=m\) 的就更新答案,这个稳过,不用优化。
代码:
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