[正经分析] DAG上dp两种做法的区别——拓扑序与SPFA
在下最近刷了几道DAG图上dp的题目。
要提到的第一道是NOIP原题《最优贸易》。这是一个缩点后带点权的DAG上dp,它同时规定了起点和终点。
第二道是洛谷上的NOI导刊题目《最长路》,一个裸的DAG上dp,也同时规定了起点和终点。
对于这两道题目,我分别用了两种不同的方法来写。
第一道题目,我建立了一个反向图,从起点和终点分别用两张图来进行Floodfill,若某个点不能被两遍Floodfill遍历到,则这个点是无用点,应当剔除。这样是为了方便后面作DAG上dp时,使用拓扑序来进行过程。
第二道题目,我直接用了spfa,把松弛的条件的小于号改成大于号。
而后我才发现,第一题也可以用spfa写。
这是为什么?
我想了一下。首先spfa跑最长路,它得保证是一张DAG。否则你可以在一个正权环上无限的松弛下去。
其次考虑一下最长路的DAG拓扑序dp做法。
是不是一个点,能够更新它的状态的点的状态全部被确定了,它的状态才能够被确定?
然而SPFA并不是这么做的。因为类似BFS过程的缘故,可能一条路径已经早就更新了这个点的状态,而另一条能松弛它的路径还没能更新它的点状态。
这样子得到的结果会是错误的吗?并不会。 SPFA有效的避免了错解情况的发生。
讨论以下情况:
a->b 路径A:中间有几个点 路径B:中间有十几个点。
b->c 只有一条路径。
a的入度为0。
DAG-dp情况:
首先从a开始拓扑序dp。显然a->b 路径上的所有点的状态确定下来后,b的状态被确定,随后b->c的状态一个个地被确定。
SPFA情况:
由于BFS缘故,路径A上的点首先被确定状态。随后b->c依次被更新状态,但是路径B能得到更优的答案。
随后,路径B跟上来了。它更新了b的状态,b随后再次被放入处理队列中,依次而来的,b->c上面的点一个个地再次重新入队,再次被更新状态。
因此,使用SPFA进行类似最长路的DAG上dp时,每个点的最终状态跟拓扑序dp一样,会是最优的。这就是为什么SPFA能跑DAGdp的原因。
什么时候使用SPFA跑DAG会更好呢?确定了起点和终点的状况下。 如我原先所用的方法,我做了两遍FloodFill,又删了一遍点,还要作各种判断,才能避免其它点对拓扑序dp的干扰。但是使用SPFA,从起点开始松弛,直接松弛到终点的最优状态,它有效的兼顾了DAGdp所应该得到的最优状态,而又避免了拓扑序更新状态的条件之一——入度必须为0.因为这么做,显然会受到其它多余点(起点不能到的点/不能到终点的点)的干扰。
两者的复杂度如何呢?如果不考虑起点和终点的条件,拓扑序肯定更优。但如果考虑起点和终点的条件,综合考虑代码复杂度和时间复杂度,我觉得我应该会写SPFA。
感觉值得做个记录....qwq
UPD
有时候是可以不用排除多余点的。
也就是说,只用给起点设置初始状态,其它的状态全部不设
那么作拓扑排序得到的结果也应该与排除多余点等价
大部分题目应该都是如此。
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