【bzoj4487】[Jsoi2015]染色问题 容斥原理

题目描述

棋盘是一个n×m的矩形，分成n行m列共n*m个小方格。现在萌萌和南南有C种不同颜色的颜料，他们希望把棋盘用这些颜料染色，并满足以下规定： 
1.  棋盘的每一个小方格既可以染色（染成C种颜色中的一种） ，也可以不染色。 
2.  棋盘的每一行至少有一个小方格被染色。 
3.  棋盘的每一列至少有一个小方格被染色。 
4.  种颜色都在棋盘上出现至少一次。 
以下是一些将3×3棋盘染成C = 3种颜色（红、黄、蓝）的例子：

请你求出满足要求的不同的染色方案总数。只要存在一个位置的颜色不同，即认为两个染色方案是不同的

输入

输入只有一行 3 个整数 n,m,c 。1 < = n,m,c < = 400

输出

输出一个整数，为不同染色方案总数。因为总数可能很大，只需输出总数
mod 1,000,000,007的值。

样例输入

2 2 3

样例输出

60

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题解

容斥原理

题目要求：所有行都有格子被染色、所有列都有格子被染色、所有颜色都有格子被染色的方案数。

我们可以容斥一下，求：有 $i$ 行没有格子被染色、有 $j$ 列没有格子被染色、有 $k$ 种颜色没有格子被染色的方案数。

那么答案为 $\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m\sum\limits_{k=0}^c(-1)^{i+j+k}C_n^iC_m^jC_c^kk^{(n-i)(m-j)}$ 。

由于 $n,m,c$ 都只有400，因此不需要做进一步推导，直接预处理组合数+幂，暴力计算即可。

时间复杂度 $O(n^3)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
ll c[410][410] , pow[160010];
int main()
{
	int n , m , p , i , j , k;
	ll ans = 0;
	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &p);
	pow[0] = c[0][0] = 1;
	for(i = 1 ; i <= n || i <= m || i <= p ; i ++ )
	{
		c[i][0] = 1;
		for(j = 1 ; j <= i ; j ++ )
			c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
	}
	for(i = 0 ; i <= p ; i ++ )
	{
		for(j = 1 ; j <= n * m ; j ++ ) pow[j] = pow[j - 1] * (p - i + 1) % mod;
		for(j = 0 ; j <= n ; j ++ )
			for(k = 0 ; k <= m ; k ++ )
				ans = (ans + c[p][i] * c[n][j] % mod * c[m][k] % mod * pow[(n - j) * (m - k)] % mod * ((i ^ j ^ k) & 1 ? -1 : 1) + mod) % mod;
	}
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}