某dp题

【NOI联考by ysy】庆典

2016年6月17日1,1040

【题目描述】

战狂在昌和帝国的首都法法城召开了庆典，向一万名最杰出的士兵分发了用魔法猪做的猪肉饺子，士兵们吃了猪肉饺子后，战斗力大幅提高。

为了保护战狂的安全以及维护现场秩序，大预言家抽调了n名普通士兵组成了m个小队完成一些不同的任务。由于一些特殊的原因，所有小队的人数都互不相同。

你需要求出有多少种可能的组队方案。注意士兵是相同的，而小队是不同的。

【输入数据】

第一行两个个整数n，m。

【输出数据】

一行一个数表示答案。对998244353取模。

【样例输入】

16 4

【样例输出】

216

【数据范围】

对于20%的数据，n,m<=20。

对于50%的数据，n,m<=3000。

对于100%的数据，n,m<=100000。

这个题目就比较简单

首先所有小队的人都不相同

那就先给每个位置\(i\)分配\(i\)个队员

对于剩下的人就分配给这m个小队

所以就\(O(nm)\)递推

这个递推有点熟悉（整数拆分问题）

递推法

根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即\({1}\)；

（2）当m=1时，不论 的值为多少（n>0），只有一种划分，即\({1,1,....1,1,1}\)；

（3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

（a）划分中包含n的情况，只有一个，即\({n}\)；

（b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有\((n-1)\)划分；

因此，\(f(n,n)=1+f(n, n-1)\)。

（4）当n时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)；

（5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

（a）划分中包含 的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m,m；

（b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n,m-1；

因此，f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1) 。

综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

详细递推公式描述如下：

那么

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 100005
#define mod 998244353
using namespace std;

int dp[N];

int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	n-=m*(m+1)/2;
	dp[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=i;j<=n;++j)
			dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%mod;
	for(int i=2;i<=m;++i)
		dp[n]=(dp[n]*i)%mod;
	printf("%d",dp[n]);
	return 0;
}