题解 P2831 【愤怒的小鸟】

题目

我的天，这题是真的卡精度......

主要是精度很不好处理，经本蒟蒻测验，精度在\(10^{-6}\)会比较好优雅

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【分析】

对于这种某个变量特别小\((\leq 31)\)的题目，本蒟蒻第一反应就是状压

对于某个抛物线，一定要打到起码一个小猪(不然不如不要这一条抛物线)

有人觉得最少会打掉两只小猪的，可以仔细想一下，万一\(a \geq 0\)呢......

好的，我们继续

那么，我们可以这么考虑，枚举每一只小猪的坐标

首先，有一条抛物线是只过它的

其次，再枚举其他小猪，算出抛物线方程(见下方)，若\(a<0\)就记录这条抛物线，否则可以直接跳出

记录完这条抛物线后，我们枚举其他的小猪，查看是否在线上

这里要注意精度问题，如果计算出来的\(y\)与题目所给的\(y\)偏差值不超过\(10^{-6}\)，就直接视为同一个值(毕竟计算是有一定的精度问题)

那么对于接下来，我已经预处理过了所有的小鸟的轨迹(抛物线)，只需要在状压方程中直接算就可以了

在打\(0\)只小猪的时候，需要用\(0\)只小鸟，于是有:

\(dp[0]=0\)

假设当前状态为\(i\)，抛物线为第\(j\)条，抛物线打掉的小猪状态为\(para[j]\)，那么有：

\(dp[i|para[j]]=min(dp[i|para[j]],dp[i]+1)\)

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接下来我们说一下怎么求\(a\)和\(b\):

假设枚举到两个小猪，坐标分别为\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)，那么就对应地会有：

\(\begin{cases} y_1=ax_1^2+bx_1\\ \\y_2=ax_2^2+bx_2\end{cases}\)

这里有一个很明显的矩阵关系：

\(\left[\begin{matrix}\ y_1\ \\ \\y_2\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\ x_1^2&x_1\ \\ \\x_2^2&x_2\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}\ a\ \\ \\b\end{matrix}\right]\)

于是有：

\(\left[\begin{matrix}\ a\ \\ \\b\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\ x_1^2&x_1\ \\ \\x_2^2&x_2\end{matrix}\right]^{-1}\times\left[\begin{matrix}\ y_1\ \\ \\y_2\end{matrix}\right]\)

又因为：

\(\left|\begin{matrix}\ x_1^2&x_1\\ \\x_2^2&x_2\end{matrix}\right|=x_1^2x_2-x_1x_2^2=(x_1-x_2)x_1x_2\)

所以有：

\(\left[\begin{matrix}\ x_1^2&x_1\ \\ \\ x_2^2&x_2\end{matrix}\right]^{-1}=\frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}\left[\begin{matrix}\ x_2&-x_1\ \\ \\-x_2^2&x_1^2\end{matrix}\right]\)

(逆矩阵的求法)

所以有：

\(\left[\begin{matrix}\ a\ \\ \\b\end{matrix}\right]={1\over(x_1-x_2)x_1x_2}\left[\begin{matrix}\ x_2&-x_1\ \\ \\-x_2^2&x_1^2\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}\ y_1\ \\ \\y_2\end{matrix}\right]\)

即：

\(\begin{cases}a={1\over(x_1-x_2)x_1x_2}\times(x_2y_1-x_1y_2)\\ \\b={1\over(x_1-x_2)x_1x_2}\times(x_1^2y_2-x_2^2y_1)\end{cases}\)

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还有一件事

我们对于抛物线，在后面枚举状态的时候是不需要知道除了能打的小猪以外的所有信息

所以直接维护这个信息就可以了，其他都没有必要维护

这个众位大犇可以直接一下本蒟蒻的代码

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【代码】

那本蒟蒻就放代码了：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define min(a,b) ((a<b)?a:b)
inline void built(double &a,double &b,double x1,double y1,double x2,double y2){
    a=(x2*y1-x1*y2)/(x1*x2*(x1-x2));
    b=(x1*x1*y2-x2*x2*y1)/(x1*x2*(x1-x2));
}//计算a,b
inline bool inc(double a,double b,double x,double y){
	double abs=a*x*x+b*x-y;
	if(abs<0) abs=-abs;
	return abs<=0.000001;
}//判定某个小猪是否在抛物线上
inline int read(){
	int ans=0;char c=getchar();bool neg=0;
	while((c<'0')|(c>'9')) { neg^=!(c^'-'); c=getchar(); }
	while((c>='0')&(c<='9')) { ans=(ans<<3)+(ans<<1)+c-'0'; c=getchar(); }
	return neg?-ans:ans;
}//无聊的读入优化
int n,para[200],dp[1<<18],countpara;
inline void pre(){
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	countpara=0;
	double x[18]={0},y[18]={0};
	n=read();read();
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf %lf",&x[i],&y[i]);
	//dp定义为无限大，抛物线的条数清空，读入
	for(int i=0;i<n;i++){
		para[countpara++]=(1<<i);
		//只打一只小猪的
		for(int j=i+1,vis=0;j<n;j++)//定义vis表示打到过的小猪，避免重复枚举
			if((vis>>j)&1) continue;
			else{
				double a,b;
				built(a,b,x[i],y[i],x[j],y[j]);
				if(a>=0) continue;
				para[countpara]=(1<<i);
				for(int k=j;k<n;k++)//枚举小猪，查看是否在线上
					if(inc(a,b,x[k],y[k])){
						vis|=(1<<k);
						para[countpara]|=(1<<k);
					}
				countpara++;
			}
	}
}
inline int ans(){//状压
	dp[0]=0;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
		for(int j=0;j<countpara;j++)
			dp[i|para[j]]=min(dp[i|para[j]],dp[i]+1);
	return dp[(1<<n)-1];
}
int main(){
	int t=read();
	while(t--){
		pre();//先皮一下
		printf("%d\n",ans());
	}
	return 0;
}

最后安利一下 本蒟蒻的博客