洛谷P5162 WD与积木 [DP，NTT]

传送门

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思路

真是非常套路的一道题……

考虑\(DP\)：设\(f_n\)为\(n\)个积木能搭出的方案数，\(g_n\)为所有方案的高度之和。

容易得到转移方程：

\[\begin{align*}
&f_n=[n=0]+\sum_{i=1}^n {n \choose i} f_{n-i}\\
&g_n=\sum_{i=1}^n {n \choose i} (f_{n-i}+g_{n-i})
\end{align*}
\]

发现\(f_n\)似乎更容易搞出来，我们先搞\(f_n\)。

由转移方程可以得到：

\[\frac{f_n}{n!}=[n=0]+\sum_{i=1}^n \frac{1}{i!} \frac{f_{n-i}}{(n-i)!}
\]

设

\[F(x)=\sum_n \frac{f_n}{n!} x^n\\
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n
\]

则有

\[\begin{align*}
F(x)-1&=F(x)S(x)\\
F(x)&=\frac{1}{1-S(x)}
\end{align*}
\]

多项式求逆即可。

接下来是求\(g_n\)。

令\(t_n=f_n+g_n\)，则有

\[\frac{g_n}{n!}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i!} \frac{t_{n-i}}{(n-i)!}
\]

设

\[\begin{align*}
&G(x)=\sum_n \frac{g_n}{n!} x^n\\
&T(x)=\sum_n \frac{t_n}{n!}=F(x)+G(x)
\end{align*}
\]

可以得到

\[G(x)=S(x)T(x)=S(x)F(x)+S(x)G(x)\\
G(x)=\frac{S(x)F(x)}{1-S(x)}=S(x)[F(x)]^2=F(x)(F(x)-1)
\]

NTT即可。

最后\(ans_n=\frac{g_n}{f_n}\)。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define sz 400404
	typedef long long ll;
	const ll mod=998244353;
	template<typename T>
	inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();
		double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.')
		{
			ch=getchar();
			while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
		}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>
	inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.txt","r",stdin);
		#endif
	}
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

inline ll ksm(ll x,int y)
{
	ll ret=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;
	return ret;
}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}

int r[sz],limit;
void NTT_init(int n)
{
	limit=1;int l=-1;
	while (limit<=n+n) limit<<=1,++l;
	rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
void NTT(ll *a,int type)
{
	rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
	{
		ll Wn=ksm(3,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);
		for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)
		{
			ll w=1;
			for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)
			{
				ll x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(mod+x-y)%mod;
			}
		}
	}
	if (type==1) return;
	ll I=inv(limit);
	rep(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*I%mod;
}
ll tmp1[sz],tmp2[sz];
void PolyInv(ll *a,ll *f,int n)
{
	if (n==1) return (void)(f[0]=inv(a[0]));
	int mid=(n+1)>>1;
	PolyInv(a,f,mid);
	NTT_init(n);
	rep(i,0,mid-1) tmp1[i]=f[i];
	rep(i,0,n-1) tmp2[i]=a[i];
	NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp1[i]*(mod+2-tmp1[i]*tmp2[i]%mod)%mod;
	NTT(tmp1,-1);
	rep(i,0,n-1) f[i]=tmp1[i];
	rep(i,0,limit-1) tmp1[i]=tmp2[i]=0;
}

ll fac[sz],_fac[sz];
void init(){fac[0]=_fac[0]=1;rep(i,1,sz-1) _fac[i]=inv(fac[i]=fac[i-1]*i%mod);}

ll f[sz],g[sz],s[sz];
ll t1[sz],t2[sz],t3[sz],t4[sz];

int main()
{
	file();
	init();
	int n=1e5+5,T;
	rep(i,1,n) s[i]=mod-_fac[i];
	++s[0];
	PolyInv(s,t1,n);
	rep(i,1,n) f[i]=t1[i];f[0]=1;
	rep(i,0,n) t2[i]=t3[i]=f[i];--t3[0];
	NTT_init(n);
	NTT(t2,1);NTT(t3,1);
	rep(i,0,limit-1) t4[i]=t2[i]*t3[i]%mod;
	NTT(t4,-1);
	rep(i,1,n) g[i]=t4[i];
	read(T);
	while (T--) read(n),printf("%lld\n",g[n]*inv(f[n])%mod);
}