Luogu P2490「JSOI2016」黑白棋

我博弈基础好差..

Luogu P2490

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题意

有一个长度为$ n$的棋盘，黑白相间的放$ k$个棋子，保证$ k$是偶数且最左边为白子

每次小$ A$可以移动不超过$ d$个白子，然后小$ B$可以移动不超过$ d$个黑子

双方不能把棋子越过其他棋子

求有多少种初始方案使得小$ A$先手必胜

注意白子只能往右黑子只能往左

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$NimK游戏$

对于一个局面，我们可以把每对相邻的(白，黑)对看成一堆石子，数量即为这两个棋子之间的距离

问题等价于每次可以在不超过$ d$堆中取石子求是否必胜

考虑普通的$ Nim$游戏相当于$ d=1$的情况，必败态为每堆的异或值为$ 0$

推广到$ d>1$的情况就是二进制下每一位在所有石子堆中的出现次数均是$d+1$的倍数则必败

这就是$NimK$游戏

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$ Solution$

$ DP$

设$ f_{i,j}$表示只考虑二进制前$i$位，由$ j$颗石子组成的必败态的方案数

有

$ f_{i+1,j+s2^{i+1}(d+1)}+=f_{i,j}*\binom{k/2}{s(d+1)}$　　

意义是选出若干堆在这一位上有$ 1$且乘上选这些堆的方案数

注意最后需要

$ f_{i,j}*=\binom{n-k/2-i}{k/2}$

其意义是给这些堆石子在原棋盘上定位

然后就做完了

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$ my \ code$

#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define p 1000000007
#define rt register int
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x = ; char zf = ; char ch = getchar();
    while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
    if (ch == '-') zf = -, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) x = x *  + ch - '', ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<)putchar('-'),y=-y;if(y>)write(y/);putchar(y%+);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt;
int f[][];
int C[][];
int main(){
    C[][]=;
    n=read();k=read();int d=read();
    for(rt i=;i<=n;i++){
        C[i][]=;
        for(rt j=;j<=i&&j<=k;j++)
        C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%p;
    }

    for(rt i=;i*(d+)<=k/;i++)
    f[][i*(d+)]=C[k/][i*(d+)];
    for(rt i=;i<=;i++)
    for(rt j=;j<=n;j++){
        for(rt s=;s<=k&&j+(<<i+)*s<=n;s+=d+)
        (f[i+][j+(<<i+)*s]+=1ll*f[i][j]*C[k/][s]%p)%=p;
    }
    int ans=C[n][k];
    for(rt i=;n-k/-i>=;i++)
    f[][i]=1ll*f[][i]*C[n-k/-i][k/]%p,(ans-=f[][i])%=p;
    cout<<(ans+p)%p;
    return ;
}