洛谷P3723 礼物

以前看到过，但是搞不倒。知道了算法之后就好搞了。

题意：给定两个长为n的序列，你可以把某个序列全部加上某个数c，变成循环同构序列。

求你操作后的min∑(a_i - b_i)²

解：

设加上的数为c，那么得到一个柿子：∑(a_i - b_i + c)²

拆开：∑a_i² + ∑b_i² - 2∑a_ib_i + nc² + 2c∑(a_i - b_i)

发现其中前两项是常数不用管。第三项是卷积，后两项是关于c的二次函数。

于是后两项用二次函数的对称轴直接搞出来。第三项构造函数卷积，看哪个位置的值最大即可。

具体来说，把a复制成两倍，反转b。然后卷积出来的第n ~ 2n项就是。

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 const double pi = 3.1415926535897932384626;
 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

 struct cp {
     double x, y;
     cp(double X = , double Y = ) {
         x = X;
         y = Y;
     }
     inline cp operator +(const cp &w) const {
         return cp(x + w.x, y + w.y);
     }
     inline cp operator -(const cp &w) const {
         return cp(x - w.x, y - w.y);
     }
     inline cp operator *(const cp &w) const {
         return cp(x * w.x - y * w.y, x * w.y + y * w.x);
     }
 }a[N], b[N];

 int r[N];
 LL A[N], B[N];

 inline void FFT(int n, cp *a, int f) {
     for(int i = ; i < n; i++) {
         if(i < r[i]) {
             std::swap(a[i], a[r[i]]);
         }
     }
     for(int len = ; len < n; len <<= ) {
         cp Wn(cos(pi / len), f * sin(pi / len));
         for(int i = ; i < n; i += (len << )) {
             cp w(, );
             for(int j = ; j < len; j++) {
                 cp t = a[i + len + j] * w;
                 a[i + len + j] = a[i + j] - t;
                 a[i + j] = a[i + j] + t;
                 w = w * Wn;
             }
         }
     }
     if(f == -) {
         for(int i = ; i <= n; i++) {
             a[i].x /= n;
         }
     }
     return;
 }

 int main() {
     int n, m;
     LL XX = , YY = , SX = , SY = ;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     n--;
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &A[i]);
         SX += A[i];
         XX += A[i] * A[i];
         a[i].x = a[i + n + ].x = A[i];
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &B[i]);
         SY += B[i];
         YY += B[i] * B[i];
         b[n - i].x = B[i];
     }
     int len = , lm = ;
     while(len <= n * ) {
         len <<= ;
         lm++;
     }
     for(int i = ; i <= len; i++) {
         r[i] = (r[i >> ] >> ) | ((i & ) << (lm - ));
     }

     FFT(len, a, );
     FFT(len, b, );
     for(int i = ; i <= len; i++) {
         a[i] = a[i] * b[i];
     }
     FFT(len, a, -);

     LL ans = -INF;
     for(int i = n; i <= n * ; i++) {
         ans = std::max(ans, (LL)(a[i].x + 0.5));
     }

     double C = -1.0 * (SX - SY) / (n + );
     LL c = (int)(C);
     LL temp = std::min((n + ) * c * c +  * (SX - SY) * c, (n + ) * (c + ) * (c + ) +  * (SX - SY) * (c + ));
     temp = std::min(temp, (n + ) * (c - ) * (c - ) +  * (SX - SY) * (c - ));

     printf("%lld\n", XX + YY -  * ans + temp);

     return ;
 }

AC代码