【洛谷P3723】礼物

题目大意：给定两个序列 A、B，现可以将 A 序列的每一个元素的值增加或减少 C，求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}(a_i-b_{i+k})^2\) 的最小值是多少。

题解：先不考虑环的问题，仅考虑 A 序列所有元素增加一个值 C，这将体现在最后的求和式中，即：求和式变成 $$\sum\limits_{i=0}^{{n-1}(a_i-b_{i+k}+c)}2$$，将这个和式进行展开，可以发现这是一个关于 C 的二次函数，最值可以直接计算。于是问题转化成了如何求$$\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ib_{i+k}$$的最小值。上述形式的卷积被称作循环卷积，即：b 的下标取值范围为 \([0,2n-1]\)，同时下标之差是定值，将 B 倍增之后，翻转 A 即可得到卷积的形式，最后取对应系数的最大值即可。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef complex<double> cp;
const double pi = acos(-1);

int main() {
	int n, m;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	vector<double> x(n), y(n);
	double ans = 0, delta = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%lf", &x[i]);
		ans += x[i] * x[i];
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%lf", &y[i]);
		ans += y[i] * y[i];
		delta += y[i] - x[i];
	}
	double optimal = round(delta / n);
	ans += n * optimal * optimal - 2 * delta * optimal;

	int tot = 1, bit = 0;
	while (tot <= 3 * n) {
		tot <<= 1;
		++bit;
	}
	vector<int> rev(tot);
	for (int i = 0; i < tot; i++) {
		rev[i] = rev[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << bit - 1;
	}
	vector<cp> f(tot), g(tot);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		f[i] = x[n - i - 1];
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		g[i] = g[i + n] = y[i];
	}
	auto fft = [=](vector<cp> &v, int opt) {
		for (int i = 0; i < tot; i++) {
			if (i < rev[i]) {
				swap(v[i], v[rev[i]]);
			}
		}
		for (int mid = 1; mid < tot; mid <<= 1) {
			cp wn(cos(pi / mid), opt * sin(pi / mid));
			for (int j = 0; j < tot; j += mid << 1) {
				cp w(1, 0);
				for (int k = 0; k < mid; k++) {
					cp xx = v[j + k], yy = w * v[j + mid + k];
					v[j + k] = xx +	yy, v[j + mid + k] = xx - yy;
					w *= wn;
				}
			}
		}
		if (opt == -1) {
			for (int i = 0; i < tot; i++) {
				v[i].real(round(v[i].real() / tot));
			}
		}
	};
	fft(f, 1), fft(g, 1);
	for (int i = 0; i < tot; i++) {
		f[i] *= g[i];
	}
	fft(f, -1);
	double minus = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		minus = max(minus, f[n + i - 1].real());
	}
	ans -= 2 * minus;
	printf("%.0lf\n", ans);
	return 0;
}