洛谷 P1115 最大子序和
**原题链接**
##题目描述
给出一段序列,选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
**解法**:
1、暴力枚举 时间:O(n^3)
2、简单优化 时间:O(n^2)
3、分治 时间:O(nlogn)
4、DP 时间:O(n)
分析与代码
解法1:暴力枚举 时间:O(n^3)
由题意很容易想到通过枚举子串首尾两端的位置
确定找出不同的子串,并把确定子串中的数逐一
相加求和,从中取最大值暴力解决。
代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N];
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
int MaxSum=-(1<<30),ThisSum;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i;j<n;j++){
ThisSum=0;
for(int k=i;k<=j;k++)ThisSum+=a[k];
MaxSum=max(MaxSum,ThisSum);
}
}
cout<<MaxSum<<endl;
return 0;
}
解法2:简单优化 时间:O(n^2)
简单思考可发现,解法1中做了很多次重复计算,
如下图:
当子序起始位置不变,末端移动的时候,ThisSum只会依次加上新的一个数。所以,
只需枚举子串首尾两端的位置,每次子序末端移动的时候,
新子序和等于ThisSum=ThisSum+a[j]即可。
代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1000010;
int a[N];
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
int MaxSum=-(1<<30),ThisSum=0;
for(int i=0;i<n;i++){
ThisSum=0;
for(int j=i;j<n;j++){
ThisSum+=a[j];
MaxSum=max(MaxSum,ThisSum);
}
}
return 0;
}
解法3:分治 时间:O(nlogn)
(未完待续......)
解法4:DP 时间:O(n)
其实,再深入思考,可以发现当枚举计算ThisSum<0
的时候,再去子序末端移动过后遇到的无论是正数
还是负数,当它加上ThisSum时都将小于它本身。所
以ThisSum<0时,可以看成0从头处理。但还有一种特
殊情况——原序列全是负数!!!
由此可以得出以下状态转移方程:
MaxSum=max( MaxSum , max(ThisSum+a[i],a[i])
整个过程只需扫一遍数组即可,所以T(n)=O(n)。
代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1000010;
int a[N];
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
int MaxSum=-(1<<30),ThisSum=0;
for(int i=0;i<n;i++){
ThisSum+=a[i];
MaxSum=max(MaxSum,ThisSum);
if(ThisSum<0)ThisSum=0;
}
cout<<MaxSum<<endl;
return 0;
}
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