【BZOJ1925】[SDOI2010]地精部落（动态规划）

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题面

BZOJ

洛谷

题解

一道性质\(dp\)题。（所以当然是照搬学长PPT了啊

先来罗列性质，我们称题目所求的序列为抖动序列：

• 一个抖动序列的连续子序列还是一个抖动序列。
• 如果在一个抖动序列中\(x\)与\(x+1\)不相邻，那么交换两者的位置这个序列仍是抖动序列。
• 如果将一个抖动序列中所有大于\(x\)的元素全部\(+1\)，那么这个序列仍然是抖动序列。
• 一个\([1,x]\)的抖动序列可以映射到一个\([y-x+1,y]\)的抖动序列。

上面的性质都比较显然。证明什么的感性理解一下就好了。

现在来写\(dp\)。

设\(f[i][j]\)表示\([1,i]\)构成的排列中，第一个数为\(j\)的抖动序列的个数，并且强制第一个数大于第二个数，即第一个位置上是一个峰。

第一个数这已经确定，现在考虑第二个位置上的数。

如果这个数不是\(j-1\)，那么我们必定可以交换\(j\)以及\(j-1\)，不难发现这样子是一一对应的，也就是\(f[i][j]\leftarrow f[i][j-1]\)

否则这个数是\(j-1\)。那么我们先把第一个\(j\)个忽视掉，剩下的部分的值是\([1,j-1]\cup[j+1,i]\)，那么我们这样子想，我们只需要剩下的这些值离散，变成了\([1,i-1]\)，然后构成了一个以\(j-1\)开头的抖动序列，再把\([j+1,i-1]\)这一段全部加一，最后再把\(j\)放回到开头，这样子就可以得到一个抖动序列了。但是我们似乎没法直接从\(f[i-1][j-1]\)转移过来，因为在上述状态中\(j-1\)是一个峰，但是在\(f[i][j]\)的状态中，\(j-1\)是一个谷。然而并没有什么关系，我们用上面的最后一个结论，把所有的数全部映射一下，即\(j-1\)映射到\(i-j+1\)。那么就可以得到\(f[i][j]\leftarrow f[i-1][i-j+1]\)

那么这样子就可以\(dp\)了，转移方程是\(f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]\)

那么答案就是\(\sum f[n][i]\)啦，但是别忘了这样子强制了第一个位置是峰，再映射一下，发现还要乘个二就可以把谷的贡献给算进来啦。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,MOD,f[2][4250],ans;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&MOD);f[0][1]=1;
	for(int i=1,nw=1,pw=0;i<=n;++i,nw^=1,pw^=1)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			f[nw][j]=(f[nw][j-1]+f[pw][i-j+1])%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+f[n&1][i])%MOD;
	ans=(ans+ans)%MOD;printf("%d\n",ans);
	return 0;
}