2019 牛客多校第一场 E ABBA
题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/E
题目大意
问有多少个由 (n + m) 个 ‘A’ 和 (n + m) 个 ‘B’，组成的字符串能被分割成 (n + m) 个长度为 2 的子序列，其中恰好有 n 个 “AB”，和 m 个 “BA”。
分析1（DP）
首先，如果一个串是合法的，那么我们可以用贪心的思路找到一种必然正确的划分子序列的方法：前 n 个 A 分配给 AB，后 m 个 A 分配给 BA，B 同理。
设 dp[i][j] 表示有 i 个 A 和 j 个 B 的合法前缀方案数。
对于每一个前缀合法字符串，它下一个长度的前缀合法字符串有 2 种选择，在结尾加 A 或是加 B，为什么不在中间加？因为中间加的情况可以转化为另一个前缀合法字符串在结尾加字符，所以只要讨论在结尾加即可。
接下来讨论一下不合法情况，由于是在结尾加，比如说加 A，在加之前，A 的数量不能超过 B 的数量加 n，不然的话会出现多余的 A。B 同理。
最后就是状态转移方程了：
- dp[i][j] 由末尾加 A 得到，所以 dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i - 1][j]。
- dp[i][j] 由末尾加 B 得到，所以 dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i][j - 1]。
- dp[i][j] 不合法，为 0。
代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i) #define pr(x) cout << #x << " = " << x << " "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl #define LOWBIT(x) ((x)&(-x)) #define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
#define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // ?? x ?????? c
#define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
#define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper); #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a)) #define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
in >> p.first >> p.second;
return in;
} template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
for (auto &x: v)
in >> x;
return in;
} template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &out, vector<T> &v) {
Rep(i, v.size()) out << v[i] << " \n"[i == v.size()];
return out;
} template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
return out;
} inline int gc(){
static const int BUF = 1e7;
static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg; if(bg == ed) fread(bg = buf, , BUF, stdin);
return *bg++;
} inline int ri(){
int x = , f = , c = gc();
for(; c<||c>; f = c=='-'?-:f, c=gc());
for(; c>&&c<; x = x* + c - , c=gc());
return x*f;
} template<class T>
inline string toString(T x) {
ostringstream sout;
sout << x;
return sout.str();
} inline int toInt(string s) {
int v;
istringstream sin(s);
sin >> v;
return v;
} //min <= aim <= max
template<typename T>
inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
return min <= aim && aim <= max;
} typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef pair< int, PII > PIPII;
typedef pair< string, int > PSI;
typedef pair< int, PSI > PIPSI;
typedef set< int > SI;
typedef set< PII > SPII;
typedef vector< int > VI;
typedef vector< double > VD;
typedef vector< VI > VVI;
typedef vector< SI > VSI;
typedef vector< PII > VPII;
typedef map< int, int > MII;
typedef map< int, string > MIS;
typedef map< int, PII > MIPII;
typedef map< PII, int > MPIII;
typedef map< string, int > MSI;
typedef map< string, string > MSS;
typedef map< PII, string > MPIIS;
typedef map< PII, PII > MPIIPII;
typedef multimap< int, int > MMII;
typedef multimap< string, int > MMSI;
//typedef unordered_map< int, int > uMII;
typedef pair< LL, LL > PLL;
typedef vector< LL > VL;
typedef vector< VL > VVL;
typedef priority_queue< int > PQIMax;
typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
const double EPS = 1e-;
const LL inf = 0x7fffffff;
const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
const LL mod = 1e9 + ;
const int maxN = 2e3 + ;
const LL ONE = ;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555; // dp[i][j] 表示有 i 个 A 和 j 个 B 的合法前缀方案数
int n, m, dp[maxN][maxN]; int main(){
//freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
//freopen("input.txt","r",stdin);
//INIT();
while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
dp[][] = ;
Rep(i, n + m + ) {
Rep(j, n + m + ) {
if(!i && !j) continue;
dp[i][j] = ;
if (i > && j >= i - n) dp[i][j] = (dp[i - ][j] + dp[i][j]) % mod; // 在最后加 A
if (j > && i >= j - m) dp[i][j] = (dp[i][j - ] + dp[i][j]) % mod; // 在最后加 B
}
} printf("%d\n", dp[n + m][n + m]);
}
return ;
}
分析2（卡特兰数的折线法）
关于折线法：https://blog.csdn.net/qq_26525215/article/details/51453493
一共有四种情况：
- m = 0 && n = 0：此时答案为 1。
- m > 0 && n = 0：此时退化成纯卡特兰数问题，答案为${{2m}\choose{m}} - {{2m}\choose{m - 1}}$。
- m = 0 && n > 0：此时退化成纯卡特兰数问题，答案为${{2n}\choose{n}} - {{2n}\choose{n - 1}}$。
- m > 0 && n > 0：这种是卡特兰数的变化，对应在折线图上就是从一条线变成了上下两条边界线，答案为${{2(n + m)}\choose{n + m}} - {{2(n + m)}\choose{m - 1}} - {{2(n + m)}\choose{n - 1}}$。
代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i) #define pr(x) cout << #x << " = " << x << " "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl #define LOWBIT(x) ((x)&(-x)) #define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
#define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // ?? x ?????? c
#define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
#define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper); #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a)) #define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
in >> p.first >> p.second;
return in;
} template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
for (auto &x: v)
in >> x;
return in;
} template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &out, vector<T> &v) {
Rep(i, v.size()) out << v[i] << " \n"[i == v.size()];
return out;
} template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
return out;
} inline int gc(){
static const int BUF = 1e7;
static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg; if(bg == ed) fread(bg = buf, , BUF, stdin);
return *bg++;
} inline int ri(){
int x = , f = , c = gc();
for(; c<||c>; f = c=='-'?-:f, c=gc());
for(; c>&&c<; x = x* + c - , c=gc());
return x*f;
} template<class T>
inline string toString(T x) {
ostringstream sout;
sout << x;
return sout.str();
} inline int toInt(string s) {
int v;
istringstream sin(s);
sin >> v;
return v;
} //min <= aim <= max
template<typename T>
inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
return min <= aim && aim <= max;
} typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef pair< int, PII > PIPII;
typedef pair< string, int > PSI;
typedef pair< int, PSI > PIPSI;
typedef set< int > SI;
typedef set< PII > SPII;
typedef vector< int > VI;
typedef vector< double > VD;
typedef vector< VI > VVI;
typedef vector< SI > VSI;
typedef vector< PII > VPII;
typedef map< int, int > MII;
typedef map< int, string > MIS;
typedef map< int, PII > MIPII;
typedef map< PII, int > MPIII;
typedef map< string, int > MSI;
typedef map< string, string > MSS;
typedef map< PII, string > MPIIS;
typedef map< PII, PII > MPIIPII;
typedef multimap< int, int > MMII;
typedef multimap< string, int > MMSI;
//typedef unordered_map< int, int > uMII;
typedef pair< LL, LL > PLL;
typedef vector< LL > VL;
typedef vector< VL > VVL;
typedef priority_queue< int > PQIMax;
typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
const double EPS = 1e-;
const LL inf = 0x7fffffff;
const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
const LL mod = 1e9 + ;
const int maxN = 1e5 + ;
const LL ONE = ;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555; LL fac[maxN];
void init_fact() {
fac[] = ;
For(i, , maxN - ) fac[i] = (i * fac[i - ]) % mod;
} //ax + by = gcd(a, b) = d
// 扩展欧几里德算法
inline void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
if (!b) {d = a, x = , y = ;}
else{
ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
y -= x * (a / b);
}
} // 求a关于p的逆元，如果不存在，返回-1
// a与p互质，逆元才存在
inline LL inv_mod(LL a, LL p = mod){
LL d, x, y;
ex_gcd(a, p, x, y, d);
return d == ? (x % p + p) % p : -;
} inline LL comb_mod(LL m, LL n) {
LL ret; if(m > n) swap(m, n); ret = (fac[n] * inv_mod(fac[m], mod)) % mod;
ret = (ret * inv_mod(fac[n - m], mod)) % mod; return ret;
} LL n, m, ans; int main(){
//freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
//freopen("input.txt","r",stdin);
//INIT();
init_fact();
while(~scanf("%lld%lld", &n, &m)) {
ans = comb_mod(n + m, * (n + m));
if(n) ans -= comb_mod(n - , * (n + m));
if(m) ans -= comb_mod(m - , * (n + m));
ans = (ans + * mod) % mod;
printf("%lld\n", ans);
}
return ;
}
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