bzoj 3675 [Apio2014]序列分割（斜率DP）

【题目链接】

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3675

【题意】

将n个数的序列分割k次，每次的利益为分割后两部分数值和的积，求最大利益。

【思路】

设f[i][j]表示将前i个分割j次的最大获益，则有转移式：

f[i][j]=max{ f[k][j-1]+(S(i)-S(k))*S(k) }

设a<b，若b决策优于a决策则有：

(S[b]^2-S[a]^2+f[a][j-1]-f[b][j-1])/(S[b]-S[a])<S[i]

单调队列维护下凸包，每次保持队首的最优性，维护队尾的下凸性。队列中的点至少要有一个。

【代码】

 #include<set>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 2e5+;

 ll read() {
     char c=getchar();
     ll f=,x=;
     while(!isdigit(c)) {
         if(c=='-') f=-; c=getchar();
     }
     while(isdigit(c))
         x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*f;
 }

 int n,K,tot;
 ll f[N][],cur,q[N],qh,qt,a[N],S[N];
 /*
 double slop(ll a,ll b) {
     return (double)(S[b]*S[b]-S[a]*S[a]+f[a][cur^1]-f[b][cur^1])/(double)(S[b]-S[a]);
 }
 */
 ll up(ll a,ll b)
 {
     return (S[b]*S[b]-S[a]*S[a]+f[a][cur^]-f[b][cur^]);
 }
 ll down(ll a,ll b)
 {
     return (S[b]-S[a]);
 }

 int main()
 {
     n=read(),K=read();
     FOR(i,,n) {
         a[++tot]=read();
         if(!a[tot]) --tot;
     }
     n=tot;
     FOR(i,,n) S[i]=S[i-]+a[i];
     FOR(round,,K) {
         cur^=;
         qh=; qt=;
         FOR(i,round,n) {
             while(qh<qt&up(q[qh],q[qh+])<S[i]*down(q[qh],q[qh+])) qh++;
             int t=q[qh];
             f[i][cur]=f[t][cur^]+(S[i]-S[t])*S[t];
             while(qh<qt&&up(q[qt-],q[qt])*down(q[qt-],i)>up(q[qt-],i)*down(q[qt-],q[qt])) qt--;
             q[++qt]=i;
         }
     }
     printf("%lld\n",f[n][cur]);
     return ;
 }