洛谷 题解 P1025 【数的划分】

将n个小球放到k个盒子中的情况总数 = (a)至少有一个盒子只有一个小球的情况数 + (b)没有一个盒子只有一个小球的情况数

这样写出表达式：

a.因为盒子不加区分，那么=情况数与“将n-1个小球放到k-1个盒子中”的情况数相同

b.没有一个盒子只有一个小球，那么就把每个盒子中拿出来一个小球，对应的是“把(n-k)个小球放到k个盒子中的情况数”

然后将上面的思路化为递归式：

设f(n, k)代表将n个小球放到k个盒子中且没有空盒的情况，那么f(n, k) = f(n-1, k-1) + f(n-k, k)

而当k=1时只有1种方法(小球全部放进1个盒子)

// luogu-judger-enable-o2

/*******************
 * problem:      P1025 数的划分.
 * user ID:      63720.
 * user name:    航空信奥.
 * time:         2018-05-14.
 * mode:         C++.
 * upload place: Luogu.
*******************/

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

ll f(int n, int k)
{
    if (k <= 0 || n < k)
        return 0;                           //* 有空盒或有球放不下去
    if (n == k)
        return 1;                           //* 一个盒子放一个球
    else
        return f(n-1, k-1) + f(n-k, k);     //* 递归求解
}

int main() // 完美主程序
{
    ll n, k;
    cin >> n >> k;
    cout<< f(n, k);
    return 0;
}

不加O2，1132ms，差点挂。

递归转递推（优化，0ms）

// luogu-judger-enable-o2

/*******************
 * problem:      P1025 数的划分.
 * user ID:      63720.
 * user name:    航空信奥.
 * time:         2018-05-14.
 * mode:         C.
 * upload place: Luogu.
*******************/

#include <stdio.h>
const int MaxK = 6 + 1;
const int MaxN = 200 + 1;

/*******************
 * 0ms优化 ：
 * 采用动态规划的思想，将递归转化为二维数组模式
 * 注意开数组时，最好把空间大小+1
*******************/

int main()
{
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int ans[MaxK][MaxN] = {0};
    ans[0][0] = 1;
    //f(n, k) = f(n-1, k-1) + f(n-k, k)
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        for (int j = i; j <= n; j++)
            ans[i][j] = ans[i - 1][j - 1] + ans[i][j - i];
    printf("%d", ans[k][n]);
}