AcWing341. 洛谷P1073， NOIP2009 最优贸易

题目大意

\(~~~~~~\)一个投机倒把的奸商想要通过城市不太健全的贸易系统坑点钱，任意城市都可以买入或者卖出水晶球，他想尽量在便宜的城市买入，在贵的城市卖出，以此赚取更高的差价，他必须从一号城市开始旅行，到\(n\)号城市结束。请问他最多可以赚多少钱？

解题思路

\(~~~~~~\)这题乍一看貌似是毫无头绪的，但是我们可以通过差价高推出，他应该价格尽量低 买入，价格尽量高的卖出，所以我们可以在从\(1\sim n\) 的路径中选择一个分界点，记作\(k\)，这个\(k\)点的含义就是奸商决定在\(1\sim k\)的城市中买入，\(k\sim n\)中的城市卖出，基于我们的买入尽量低，卖出尽量高原则，我们可以得到我们的基本思路：

\(~~~~~~\)枚举所有的\(k\)点，找出\(1\sim k\)中需要的价格最小的点(有路径可以到达的)，用\(dmin\)数组记录，再找出\(k\sim n\)中需要的价格最大的点(存在到\(n\)的路径的)，用\(dmax\)数组记录，最后统计答案时找出\(dmax_{i}-dmin_{i}\) 的值最大的点

具体实现

\(~~~~~~\)怎么找出\(1\sim k\)中的最小点呢，难道是枚举每条\(a_{i}\sim k(\forall a_{i}\in [1,k])\)的路中最便宜的点吗？这样未免也太慢了。我们可以采用\(SPFA\)算法，枚举从\(1\)开始的单源最短路（这里最短路的松弛操作需要略做改动），这样对于\(\forall k\in [1,n]\)，所有的最短距离都计算好了。

对于\(k\sim n\)的最大点我们也采用类似以上的做法：

\(~~~~~~\)我们枚举从\(k\)开始的最短路，松弛操作同样改动，那我们就可以算出\(\forall k\in [1,n]\)到\(n\)点的最大价值了。但是这样需要做\(n\)遍\(SPFA\)，一定是不能再时间上通过的，所以该算法应该经过一点改进。

\(~~~~~~\)经过观察可以发现所有的汇点都是\(n\)，我们就可以自然地建一个反图（将所有的边方向反转），这样子反图上跑出来的以\(n\)为源点的最长路，就是原图上各点到\(n\)的最长路了。

对于代码

\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\)我们可以写两个\(SPFA\)，一个求最短路，一个求最长路

\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\)也可以合并处理，这里两份代码都放上来了

代码

两个\(SPFA\)

#include <queue>

#include <cstring>

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 3e5 + 10, M = 2e6 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

int dmax[N], dmin[N], st[N];

int h[N], rh[N], e[M], ne[M], w[N], idx;

int n, m;

void add(int *h, int a, int b)

{

    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;

}

void spfa()

{

    queue<int> q;

    memset(st, 0, sizeof st);

    memset(dmin, 0x3f, sizeof dmin);

    dmin[1] = w[1], st[1] = true, q.push(1);

    while (q.size())

    {

        auto t = q.front(); q.pop();

        st[t] = false ;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])

        {

            int j = e[i];

            if (dmin[j] > min(dmin[t], w[j]))

            {

                dmin[j] = min(dmin[t], w[j]);

                if (!st[j]) st[j] = true, q.push(j);

            }

        }

    }

}

void rspfa()

{

    queue<int> q;

    memset(st, 0, sizeof st);

    memset(dmax, 0xcf, sizeof dmax);

    dmax[n] = w[n], st[n] = true, q.push(n);

    while (q.size())

    {

        auto t = q.front(); q.pop();

        st[t] = false ;

        for (int i = rh[t]; ~i; i = ne[i])

        {

            int j = e[i];

            if (dmax[j] < max(dmax[i], w[j]))

            {

                dmax[j] = max(dmax[i], w[j]);

                if (!st[j]) q.push(j);

            }

        }

    }

}

int main()

{

    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )

        scanf("%d", &w[i]);

    memset(h, -1, sizeof h);

    memset(rh, -1, sizeof rh);

    while (m -- )

    {

        int u, v, t;

        scanf("%d%d%d", &u, &v, &t);

        add(h, u, v), add(rh, v, u);

        if (t == 2) add(h, v, u), add(rh, u, v);

    }

    spfa(), rspfa(); 

    int res = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )

        res = max(res, dmax[i] - dmin[i]);

    printf("%d\n", res);

    return 0;

}

观察到我们写的两个\(SPFA\)其实有很多相似点，所以可以合并成一个，加上一些参数就行（用来区分，例如：遍历的邻接表不同，起点不同，要求的最短和最长性质不同）

但是在合并的\(SPFA\)中要注意：\(memset\)的时候因为我们传进去的距离数组只是一个指针，所以与我们要的字节大小不符合，所以应该写成memset(d, 0x3f, sizeof dmin);当然这只是示例

\(合并的SPFA\)

#include <queue>

#include <cstring>

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10, M = 1e6 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

int dmax[N], dmin[N], st[N];

int h[N], rh[N], e[M], ne[M], w[N], idx;

int n, m;

void add(int *h, int a, int b)

{

    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;

}

void spfa(int *h, int *d, int S, int type)

{

    memset(st, 0, sizeof st);

    if (type) memset(d, 0xcf, sizeof dmax);

    else memset(d, 0x3f, sizeof dmin);

    queue<int> q;

    d[S] = w[S], q.push(S), st[S] = true;

    while (q.size())

    {

        auto t = q.front(); q.pop();

        st[t] = false ;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])

        {

            int j = e[i];

            if (type) {

                if (d[j] < max(d[t], w[j]))

                {

                    d[j] = max(d[t], w[j]);

                    if (!st[j]) q.push(j);

                }

            }

            else {

                if (d[j] > min(d[t], w[j]))

                {

                    d[j] = min(d[t], w[j]);

                    if (!st[j]) q.push(j);

                }

            }

        }

    }

}

int main()

{

    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )

        scanf("%d", &w[i]);

    memset(h, -1, sizeof h);

    memset(rh, -1, sizeof rh);

    while (m -- )

    {

        int u, v, t;

        scanf("%d%d%d", &u, &v, &t);

        add(h, u, v), add(rh, v, u);

        if (t == 2) add(h, v, u), add(rh, u, v);

    }

    spfa(h, dmin, 1, 0); // 正着跑最短路

    spfa(rh, dmax, n, 1); // 反着跑最长路

    int res = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )

        res = max(res, dmax[i] - dmin[i]);

    printf("%d\n", res);

    return 0;

}

写法对比

两个\(SPFA\)：时间\(250ms\)，码量\(94\)行，容易\(Debug\)（原因：分开逻辑清晰一点）

一个\(SPFA\)：时间\(227ms\)，码量\(80\)行，容易出\(Bug\)，不好\(Debug\)（原因：我菜）

\(\color{Green}{Accepted!}\)