Luogu P4095 [HEOI2013]Eden的新背包问题

题目

求出从前往后的背包\(f_{i,j}\)和从后往前的背包\(F_{i,j}\)。

那么对于询问\((d,e)\)，答案就是\(\max\limits_{i=0}^e f_{d-1,i}+F_{d+1,e-i}\)。

然后就是单调队列优化多重背包。

记物品有\(c[i]\)个，价值为\(v[i]\)，代价为\(w[i]\)。

多重背包的转移\(f[i][j]=\max\limits_{k=0}^{min(c[i],\lfloor\frac j{w[i]}\rfloor)}(f[i-1][j-w[i]*k]+v[i]*k)\)

令\(s=\lfloor\frac j{w[i]}\rfloor,d=j-w[i]*s\)。

则\(f[i][j]=\max\limits_{k=0}^{min(c[i],\lfloor\frac j{w[i]}\rfloor)}(f[i-1][d+(s-k)*w[i]]+v[i]*k)\)

令\(k=s-k\)，则\(f[i][j]=\max\limits_{k=max(0,s-c[i])}^{s}(f[i-1][d+k*w[i]]-v[i]*k)+v[i]*s\)

也就是对于\(f[i][d+k*w[i]\)，我们需要找到前面\(f[i-1][d+K*w[i]]-K*w[i](K\in[k-c[i],k])\)的最大值，然后加上\(k*w[i]\)。

我们将前面的所有\(f[i-1][d+K*w[i]]-K*w[i](K\in[k-c[i],k])\)放进一个单调队列，每次把队首的\(K\)小于\(k-c[i]\)的弹出，然后把当前的\(f[i][d+k*w[i]]\)加入队尾，然后取出队首更新答案。

这里我们可以用一个pair的deque来实现。

#include<bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define P pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
using namespace std;
const int N=1007,V=10007;
int read(){int x;scanf("%d",&x);return x;}
void max(int &a,int b){a=a>b? a:b;}
int c[N],w[N],v[N],d[N],e[N],f[N][V],F[N][V];
void cal(int *f,int i)
{
    for(int d=0,k;d<w[i];++d)
    {
        deque<P>q{mp(0,f[d])};
        for(k=1;k*w[i]+d<=10000;++k)
        {
	    while(!q.empty()&&q.front().fir<k-c[i]) q.pop_front();
            while(!q.empty()&&q.back().sec<=f[k*w[i]+d]-k*v[i]) q.pop_back();
            q.push_back(mp(k,f[k*w[i]+d]-k*v[i])),max(f[k*w[i]+d],q.front().sec+k*v[i]);
        }
    }
}
int main()
{
    int i,d,e,n,q,ans;
    for(n=read(),i=1;i<=n;++i) w[i]=read(),v[i]=read(),c[i]=read();
    for(i=1;i<=n;++i) memcpy(f[i],f[i-1],sizeof f[i]),cal(f[i],i);
    for(i=n;i;--i) memcpy(F[i],F[i+1],sizeof F[i]),cal(F[i],i);
    for(q=read();q;--q)
    {
	d=read()+1,e=read(),ans=0;
	for(i=0;i<=e;++i) max(ans,f[d-1][i]+F[d+1][e-i]);
	printf("%d\n",ans);
    }
}

或者换成手写队列也行。不过我刚刚写锅了，懒得写了。反正deque常数挺小的。