CF gym 101933 K King's Colors —— 二项式反演

题目：http://codeforces.com/gym/101933/problem/K

其实每个点的颜色只要和父亲不一样即可；

所以至多 i 种颜色就是 \( i * (i-1)^{n-1} \)，设为 \( f(i) \)，设恰好 i 种颜色为 \( g(i) \)

那么 \( f(i) = \sum\limits_{j=0}^{i} C_{i}^{j} * g(j) \)

二项式反演得到 \( g(i) = \sum\limits_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} * C_{k}^{j} * f(j) \)

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int rd()
{
  int ret=,f=; char ch=getchar();
  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
int const xn=,mod=1e9+;
int n,k,f[xn],c[xn][xn];
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
ll pw(ll a,int b){ll ret=; for(;b;b>>=,a=a*a%mod)if(b&)ret=ret*a%mod; return ret;}
void init()
{
  for(int i=;i<=k;i++)c[i][]=;
  for(int i=;i<=k;i++)
    for(int j=;j<=i;j++)
      c[i][j]=upt(c[i-][j]+c[i-][j-]);
}
int main()
{
  n=rd(); k=rd(); init();
  for(int i=;i<n;i++)rd();
  for(int i=;i<=k;i++)f[i]=(ll)i*pw(i-,n-)%mod;
  int ans=;
  for(int i=;i<=k;i++)ans=upt(ans+(ll)f[i]*c[k][i]%mod*(((k-i)&)?-:));
  printf("%d\n",ans);
  return ;
}