寻找最大的k个数

　　这个题目是非常经典的一个题目，解法也有很多，现在就把我已经理解的解法记录下来。

题目描述

　　有n个无序的数，它们各不相等，怎样选出其中的最大的k个数呢？

题目分析：

解法1：

　　最容易想到的就是把n个数进行排序，然后选择最大的k个数。排序算法很多，快速排序和堆排序都是不错的选择，他们的复杂度都是Ο(n*log₂n)，然后取出前k个Ο(k)，总的时间复杂度可以看成是Ο(n*log₂n)

　　在这个解法中，对n个数进行了排序，如果n的数值非常大的话，会很慢。

解法2：

　　能不能只遍历一边n个数就能把最大的k个数选出来呢？答案是可以的。

　　在解法2中，规定，n个数存储在数组array[n]中，我们需要开辟k个数的空间result[k]。遍历的最终目的是把最大的k个数存储在result[k]中。每一步的过程是，当遍历到array[i]时，判断array[i]是否比result[]中最小的数大，如果是，则表明，array[i]应该出现在result[]中（此时假设result[]中已存满k个数）。

　　那么应该用什么样的方式来进行此过程呢？其实这个也比较好想。

• 　　最直观的就是采用插入排序，把不合适的挤出去。这个方法复杂度为Ο(k)，总共为Ο(n*k).
• 　　还有一种方法是采用最小堆存储result[]，每次取出最小堆最小的比较，如果比他大，则交换，并且堆进行一次调整。这个方法复杂度为Ο(log₂k)，总共为Ο(n*log₂k).

解法3：

　　这个方法是编程之美里讲到的。（其实上个解法编程之美里也提到过，不过也是我自己想到的）

　　这个方法借鉴快排的思路。假设n个数存储在数组S[]中，从S中随机找到一个元素X，把数组分成两部分S_a和S_b，S_a中的元素大于等于X，S_b中的元素小于X。此时，

1. S_a中的元素个数小于k，则k个最大的元素为S_a中的元素加上S_b中的k-|S_a|个元素。
2. S_a中的元素个数大于或等于k，则需要返回S_a中最大的k个元素。

　　这时候已经非常明了了，需要用到递归的方法来计算method1中的S_b中的k-|S_a|个元素以及method2中的S_a中最大的k个元素。这个算法的时间复杂度为Ο(n*log₂k)。

其他

　　可能需要考虑特殊情况。

　　如果n不是很大，并且都是整数的话，若MAX为n个数中最大的数，可以开辟int array[MAX+1]，其中存储数i的个数。都输进去，需要用到n此，然后从MAX开始，找到k个最大的数；如果n个数都不相同，可以开辟MAX+1个bit型的，只用表明存在或不存在。这样的解法是线性的。但如果不是整数或者MAX相当大的话这种方法就不好使了。

　　肯定还有其他更好的解法的，但是因为我现在还没有掌握，暂时写到这里。

作者：viczzx 出处：http://www.cnblogs.com/zixuan-zhang 欢迎转载，也请保留这段声明。谢谢！