CF1045B Space Isaac

原题链接

DOWNLOAD AS PDF

题目大意

\(0\sim m-1\)的数被分成两个集合，你可以分别从两个集合中取一个数相加并对\(m\)取模，求一不能构造出的数。

题解

感觉如果\(\color{black}\sf{s}\color{red}\sf{xd666}\)来做这题肯定能一眼秒，然而他正忙着切其他题。

首先我们发现如果要让\(a + b \equiv x \pmod m\)，如果已知\(a, x\)，那\(b\)一定是唯一的。也就是说，假设给定集合是\(A\)，与之对应的集合为\(B\)，如果有\(a\in A\)但找不到\(b\in A\)使得\(a + b \equiv x\pmod m\)。那么\(x\in A + B\)（定义\(A + B = \{a + b : a\in A, b\in B\}\)）。反过来讲，如果\(x\notin A + B\)，那么一定能把\(A\)中所有元素配对（可能两个数相同），也即\(x\notin A + B \iff A = x - A\)（定义\(x - A= \{x - a : a\in A\}\)）。

然后我们如果把小于\(m\)的整数看成一个环，如果有两个数\(a, b\)使\(a + b \equiv x \pmod m\)，\(a\)顺时针时针移动，\(b\)肯定逆时针移动（即运动方向相反，且移动的长度应该是相等的（\((a + k)\mod m + (b - k)\mod m \equiv a + b \pmod m\)嘛）。

于是我们画两个圆，都表示集合\(\{a_i\}\)（假设\(a_i\)已经排好序），我们要把第一个圆的点与第二个圆的点匹配。

假设\(a_i\)与\(a_j\)匹配。我们把\(i\)移动至\(i+1\)，那么根据上面推出的单调性，\(j\)必须移至\(j-1\)（因为\(a_i\sim a_{i+1}\)之间没有数了，所以\(j\)也只能移动一格），又因为移动距离必须相等，即\(a_{i+1} - a_i = a_j - a_{j-1}\)。

所以我们令\(b_i = a_{i} - a_{i-1}\)（\(b_1 = (a_1 - a_n)\mod m\)），设串\(s_1 = b_nb_{n-1}b_{n-2}\cdots b_1, s_2 = b_1b_2b_3\cdots b_n\)，我们要找的是\(s_1\)与\(s_2\)成环后相等，并找到一对匹配的数，他们加起来模\(m\)即为一组解。我们令\(s_3 = s_2 + s_2\)，找到\(s_3\)中所有等于\(s_1\)的子串，就得到了所有解，这个问题用KMP或是Z都能解决。

还是贴一下代码吧：

#include <cstdio>
#include <set>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 200005;

LL aa[maxn]; // 读入的a
LL bb[maxn]; // 即上面说的b
vector<LL> gou;
int in[maxn << 2];
LL Z[maxn << 2];
set<LL> ans;

int main()
{
	int n;
	LL m;
	scanf("%d%lld", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%lld", &aa[i]);
	bb[1] = ((aa[1] - aa[n]) + m) % m;
	for(int i = 2; i <= n; ++i)
		bb[i] = ((aa[i] - aa[i-1]) % m + m) % m;
	for(int i = n; i; --i) // 这里用的是Z算法，所以合并成了一个串
	{
		gou.push_back(bb[i]);
		in[gou.size() - 1] = i;
	}
	gou.push_back(-1LL);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		gou.push_back(bb[i]);
		in[gou.size() - 1] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		gou.push_back(bb[i]);
		in[gou.size() - 1] = i;
	}
	Z[0] = gou.size();
	for(int i = 1, j = 1, k; i < (int) gou.size(); i = k) // Z算法
	{
		j = max(j, i);
		while(gou[j] == gou[j - i])
			++j;
		Z[i] = j - i;
		k = i + 1;
		while(k + Z[k - i] < j)
		{
			Z[k] = Z[k - i];
			++k;
		}
	}
	for(int i = 1; i < (int) gou.size(); ++i)
		if(Z[i] >= n) // 大力记录答案
			ans.insert((aa[in[i] - 1 ? in[i] - 1 : n] + aa[n]) % m);
	printf("%d\n", (int) ans.size());
	for(auto it = ans.begin(); it != ans.end(); ++it)
		printf("%lld ", *it);
	return 0;
}