『LCA 树链剖分』

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<正文>

LCA

Description

给出一个n个节点的有根树（编号为0到n-1，根节点为0）。一个点的深度定义为这个节点到根的距离+1。

设dep[i]表示点i的深度，LCA(i,j)表示i与j的最近公共祖先。有q次询问，每次询问给出l r z，求sigma_{l<=i<=r}dep[LCA(i,z)]。（即，求在[l,r]区间内的每个节点i与z的最近公共祖先的深度之和）

Input Format

第一行2个整数n q。接下来n-1行，分别表示点1到点n-1的父节点编号。接下来q行，每行3个整数l r z。

Output Format

输出q行，每行表示一个询问的答案。每个答案对201314取模输出

Sample Input

Sample Output

8

5

解析

容易发现一个询问可以拆成两个询问：

\[\sum_{i=l}^rdep[LCA(i,z)]=\sum_{i=1}^rdep[LCA(i,z)]-\sum_{i=1}^{l-1}dep[LCA(i,z)]
\]

都是前缀和形式的，方便我们处理。

对于一个前缀和询问，我们可以发现它的贡献具有一个实际意义：也就是求每一个\(i\)与\(z\)公共祖先的个数。进一步，我们可以这样理解：把每一个节点\(i\)到根的路径上的点点权都加一，求\(z\)到更路径上的点权和。

我们都知道直接树上加链和查询链可以用树链剖分，但是各个询问之间好像相互有影响。

最简单的解决方法就是把询问离线。我们之前已经把询问转化为前缀和的形式了，那就把所有询问按照\(r\)排序，这样依次处理询问就没有影响了。

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 50020 , Mod = 201314;

struct node { int l,r,tag; long long cnt; };

struct SegmentTree

{

    node ver[N<<2];

    #define l(p) ver[p].l

    #define r(p) ver[p].r

    #define cnt(p) ver[p].cnt

    #define tag(p) ver[p].tag

    inline void build(int p,int l,int r)

    {

        l(p) = l , r(p) = r , cnt(p) = tag(p) = 0;

        if ( l == r ) return;

        int mid = l + r >> 1;

        build( p<<1 , l , mid );

        build( p<<1|1 , mid+1 , r );

    }

    inline void update(int p) { cnt(p) = cnt(p<<1) + cnt(p<<1|1); }

    inline void spread(int p)

    {

        if ( tag(p) )

        {

            tag(p<<1) = ( tag(p<<1) + tag(p) ) % Mod;

            tag(p<<1|1) = ( tag(p<<1|1) + tag(p) ) % Mod;

            cnt(p<<1) = ( cnt(p<<1) + 1LL * ( r(p<<1) - l(p<<1) + 1 ) * tag(p) % Mod ) % Mod;

            cnt(p<<1|1) = ( cnt(p<<1|1) + 1LL * ( r(p<<1|1) - l(p<<1|1) + 1 ) * tag(p) % Mod ) % Mod;

            tag(p) = 0;

        }

    }

    inline void modify(int p,int l,int r,int v)

    {

        if ( l <= l(p) && r >= r(p) )

        {

            cnt(p) = ( cnt(p) + ( r(p) - l(p) + 1 ) * v % Mod ) % Mod;

            tag(p) = ( tag(p) + v ) % Mod; return;

        }

        spread( p );

        int mid = l(p) + r(p) >> 1;

        if ( l <= mid ) modify( p<<1 , l , r , v );

        if ( r > mid ) modify( p<<1|1 , l , r , v );

        update( p );

    }

    inline int query(int p,int l,int r)

    {

        if ( l <= l(p) && r >= r(p) ) return cnt(p);

        spread( p );

        int mid = l(p) + r(p) >> 1 , res = 0;

        if ( l <= mid ) res = ( res + query( p<<1 , l , r ) ) % Mod;

        if ( r > mid ) res = ( res + query( p<<1|1 , l , r ) ) % Mod;

        return res;

    }

};

SegmentTree Tree;

struct edge { int ver,next; } e[N*2];

struct query { int r,z,id,f; } a[N*2];

int n,m,t,Head[N],tot;

int fa[N],dep[N],son[N],size[N],top[N],id[N],cnt;

long long ans[N];

inline void insert(int x,int y)

{

    e[++t] = (edge){y,Head[x]} , Head[x] = t;

    e[++t] = (edge){x,Head[y]} , Head[y] = t;

}

inline int read(void)

{

    int x = 0 , w = 0; char ch = ' ';

    while ( !isdigit(ch) ) w |= ch=='-' , ch = getchar();

    while ( isdigit(ch) ) x = x*10 + ch-48 , ch = getchar();

    return w ? -x : x;

}

inline void input(void)

{

    n = read() , m = read();

    for ( int i = 2 ; i <= n ; i++ )

        insert( i , read() + 1 );

    for ( int i = 1 ; i <= m ; i++ )

    {

        int l = read() + 1 , r = read() + 1 , z = read() + 1;

        a[++tot] = (query){ r , z , i , 1 };

        a[++tot] = (query){ l-1 , z , i , -1 };

    }

}

inline void dfs1(int x,int f,int depth)

{

    fa[x] = f , dep[x] = depth , size[x] = 1;

    int Max = -1;

    for ( int i = Head[x] ; i ; i = e[i].next )

    {

        int y = e[i].ver;

        if ( y == f ) continue;

        dfs1( y , x , depth+1 );

        size[x] += size[y];

        if ( size[y] > Max ) Max = size[y] , son[x] = y;

    }

}

inline void dfs2(int x,int Top)

{

    id[x] = ++cnt , top[x] = Top;

    if ( !son[x] ) return;

    else dfs2( son[x] , Top );

    for ( int i = Head[x] ; i ; i = e[i].next )

    {

        int y = e[i].ver;

        if ( y == fa[x] || y == son[x] ) continue;

        dfs2( y , y );

    }

}

inline void modify_chain(int x,int y,int val)

{

    while ( top[x] ^ top[y] )

    {

        if ( dep[top[x]] < dep[top[y]] ) swap( x , y );

        Tree.modify( 1 , id[top[x]] , id[x] , val );

        x = fa[top[x]];

    }

    if ( dep[x] > dep[y] ) swap( x , y );

    Tree.modify( 1 , id[x] , id[y] , val );

}

inline int query_chain(int x,int y)

{

    int res = 0;

    while ( top[x] ^ top[y] )

    {

        if ( dep[top[x]] < dep[top[y]] ) swap( x , y );

        res = ( res + Tree.query( 1 , id[top[x]] , id[x] ) ) % Mod;

        x = fa[top[x]];

    }

    if ( dep[x] > dep[y] ) swap( x , y );

    return ( res + Tree.query( 1 , id[x] , id[y] ) ) % Mod;

}

inline bool compare(query p1,query p2) { return p1.r < p2.r; }

inline void solve(void)

{

    int p = 0;

    for ( int i = 1 ; i <= tot ; i++ )

    {

        while ( p < a[i].r ) modify_chain( 1 , ++p , 1 );

        ans[ a[i].id ] += a[i].f * query_chain( 1 , a[i].z );

        ans[ a[i].id ] = ( ans[ a[i].id ] % Mod + Mod ) % Mod;

    }

}

int main(void)

{

    input();

    dfs1( 1 , 0 , 1 );

    dfs2( 1 , 1 );

    Tree.build( 1 , 1 , n );

    sort( a+1 , a+tot+1 , compare );

    solve();

    for (int i=1;i<=m;i++)

        printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;

}

<后记>