Codeforces 983 A-E

题解

A

难度：黄

算法标签：数学、进制

题目翻译：给定进制 \(b\) 和分数 \(\frac{p}{q}\)，求这个分数在 \(b\) 进制下是否是有限小数。

题目分析：

首先将分数化简（不用说了）。接下来有命题：若 \(/frac{1}{q}\) 为有限小数，则 \(/frac{p}{q}\) 必然为有限小数。且逆命题、否命题成立。证明略。

不难看出，若 \(b\) 包含 \(q\) 中的所有质因数，则该分数为有限小数，否则为循环小数。但暴力分解质因数的复杂度为 \(O(\sqrt{n})\) 无法通过这道题。因此考虑优化。这里可以使用 q /= GCD(p, b) 代替。

B

难度：蓝

算法标签：动态规划

题目翻译：

在一个长度为 \(m\) 的数组 \(b\) 中定义函数 \(f\)：

\[f(b) = \begin{cases} b[1] & \quad \text{if } m = 1 \\ f(b[1] \oplus b[2],b[2] \oplus b[3],\dots,b[m-1] \oplus b[m]) & \quad \text{otherwise,} \end{cases}
\]

例如：

\[\begin{aligned}
f(1,2,4,8)& = f(1\oplus2,2\oplus4,4\oplus8) \\ &=f(3,6,12)\\&=f(3\oplus6,6\oplus12)\\&=f(5,10)\\&=f(5\oplus10)\\&=f(15)\\&=15
\end{aligned}
\]

现在，有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，给了 \(q\) 组询问，请计算 \(a_l, a_{l+1}, \ldots, a_r\) 的所有连续子序列 \(\{b\}\) 中，\(f(b)\) 的最大值为多少。

题目分析：\(O(n^2)\) 预处理 \(f\) 每一层的值，然后递推，用 \(d[i][j]\) 表示以 \(i\) 为起点长度为 \(j\) 的最大值，然后 \(O(1)\) 查询。直接做就做完了。

C

难度：紫（未完）