UVA10870 Recurrences （矩阵快速幂及构造方法详解）

题意：

　　F（n） =  a₁ * F（n-1） + a₂ * F（n-2）+ ···· + a_d * F（n-d）。

　　求给你的n 。 很明显这是一道矩阵快速幂的题目。

　　

题解：

　　[F_n-1, F_n-2, F_n-3, ···, F_n-d] * A（矩阵） = [F_n, F_n-1, F_n-2, ···, F_n-d+1] 。

　　F_n  = 第一个矩阵 * A的第一列， 所以A矩阵的第一列为（a1, a2 , ··· ad）。

　　F_n = 第一个矩阵  * A的第二列， 所以A矩阵的第二列为（1， 0， 0，···， 0）。

　　同理可以推出整个A矩阵：

　　a1　　1　　0　　···     0

　　a2　　0　　1　　···     0

　　a3　　0　　0　　···     0

　　···　　0　　0　　···　  1

　　ad　　0　　0　　0　　0

　　当n 小于等于d 的时候 直接输出。

　　[ f(d), f(d-1), f(d-2), ···, f(2), f(1) ] * A^n-d =  [F_n, F_n-1, F_n-2, ···, F_n-d+1] 。

　　

　　

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <stack>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 #define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 const LL INF = 0x7fffffff;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 const int maxn = +;
 int mod;
 struct Matrix
 {
     LL c[maxn][maxn];
 };//Matrix 矩阵
 Matrix mult(Matrix a, Matrix b, int len)//矩阵乘法
 {
      Matrix hh={};
      for(int i=;i<len;i++)
         for(int j =;j<len;j++)
             for(int k = ;k<len;k++){
                 hh.c[i][j] += (a.c[i][k]*b.c[k][j])%mod;
                 hh.c[i][j] %= mod;
             }
     return hh;
 }
 Matrix qpow_Matrix(Matrix a, int b, int len)
 {
     Matrix base = a;
     Matrix ans;
     //初始化ans = 1。
     for(int i =;i<len;i++)
         for(int j =;j<len;j++)
             if(i==j)    ans.c[i][j] = ;
             else ans.c[i][j] = ;
     //
     while(b){
         if(b&)     ans = mult(ans, base, len);
         base = mult(base, base, len);
         b>>=;
     }
     return ans;
 }
 int a[maxn];
 int f[maxn];
 void solve(int d, int n, int m){
     mod = m;
     for(int i = ;i<=d;i++) cin >> a[i];
     for(int i = ;i<=d;i++) cin >> f[i];

     Matrix begin={};
     for(int j = ;j<d;j++){
         begin.c[][j] = f[d-j]%mod;
     }
     Matrix A={};
     for(int j = ;j<d;j++)
         A.c[j][] = a[j+]%mod;
     for(int j = ;j<d;j++){
         A.c[j][j+] = ;
     }
     if(n<=d){
         cout << f[n]%mod << endl;
         return;
     }
     Matrix temp = qpow_Matrix(A, n-d, d);
     Matrix ans = mult(begin, temp, d);
     cout << ans.c[][]%mod << endl;
     return;
 }
 int main() {
 #ifdef LOCAL
     freopen("input.txt", "r", stdin);
 //        freopen("output.txt", "w", stdout);
 #endif
 //    ios::sync_with_stdio(0);
 //    cin.tie(0);
     int d, n, m;
     while(cin >> d >> n >> m){
         if(d+n+m==)    break;
         solve(d, n, m);
     }
     return ;
 }