CH1201 最大子序和 (单调队列)

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牛客

题目描述

输入一个长度为n的整数序列，从中找出一段不超过m的连续子序列，使得整个序列的和最大。

例如 1,-3,5,1,-2,3

当m=4时，S=5+1-2+3=7

当m=2或m=3时，S=5+1=6

输入描述:

第一行两个数n,m（\(n,m \leq 300000\)）

第二行有n个数，要求在n个数找到最大子序和

输出描述:

一个数，数出他们的最大子序和

示例1

输入

6 4
1 -3 5 1 -2 3

输出

7

思路

单调队列

单调队列模板题

首先这是区间和的问题，先求前缀和 \(sum\)。题目转化为求最大的 \(sum[r] - sum[l]\) 且 \(r - l <= m\)。

枚举右端点 \(r\)，维护左端点 \(l \in [r - m, r - 1]\)，保持 \(sum[l]\) 最小。

如果某个位置 \(k < l\)，且 \(sum[k] \ge sum[l]\)，那么直接舍弃 \(k\)。因为 \(l\) 更靠近 \(r\) 且 \(sum[l] <= sum[k]\)，这意味着 \(l\) 的生存能力更强。

因此维护一个前缀和递增的单调队列，保持队尾的元素的下标与队首的元素的下标之差不超过 \(m\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e5 + 10;

int n, m;
ll sum[maxn];
int q[maxn];

void solve() {
    ll ans = 0;
    int l = 1, r = 1;
    q[l] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        while(l <= r && i - q[l] > m) ++l;
        ans = max(ans, sum[i] - sum[q[l]]);
        while(l <= r && sum[i] <= sum[q[r]]) --r;
        q[++r] = i;
    }
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        ll x;
        cin >> x;
        sum[i] = sum[i - 1] + x;
    }
    solve();
    return 0;
}

deque 版本

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e5 + 10;

int n, m;
struct Node {
    int id; ll val;
} node[maxn];

void solve() {
    ll ans = 0;
    deque<Node> q;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        while(!q.empty() && i - q.front().id > m) q.pop_front();
        ans = max(ans, node[i].val - q.front().val);
        while(!q.empty() && node[i].val <= q.back().val) q.pop_back();
        q.push_back(node[i]);
    }
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        ll x;
        cin >> x;
        node[i].val = node[i - 1].val + x;
        node[i].id = i;
    }
    solve();
    return 0;
}

参考

《算法竞赛进阶指南》 李煜东 著