题目链接

引用到的大佬博客

代码来自:http://blog.csdn.net/jinglinxiao/article/details/72940746

具体算法讲解来自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_7a1746820100wp67.html

参考博客:  http://www.cnblogs.com/barrier/p/6067964.html

       http://www.cnblogs.com/sagitta/p/5660749.html

“在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”乍一看只要线段树就能轻松解决,实际上,仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。

树链,就是树上的路径。剖分,就是把路径分类为重链和轻链。
    记siz[v]表示以v为根的子树的节点数,dep[v]表示v的深度(根深度为1),top[v]表示v所在的链的顶端节点,fa[v]表示v的父亲,son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点(姑且称为重儿子),w[v]表示v与其父亲节点的连边(姑且称为v的父边)在线段树中的位置。只要把这些东西求出来,就能用logn的时间完成原问题中的操作。

重儿子:siz[u]为v的子节点中siz值最大的,那么u就是v的重儿子。
    轻儿子:v的其它子节点。
    重边:点v与其重儿子的连边。
    轻边:点v与其轻儿子的连边。
    重链:由重边连成的路径。
    轻链:轻边。

剖分后的树有如下性质:
    性质1:如果(v,u)为轻边,则siz[u] * 2 < siz[v];
    性质2:从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

算法实现:
    我们可以用两个dfs来求出fa、dep、siz、son、top、w。
    dfs_1:把fa、dep、siz、son求出来,比较简单,略过。
    dfs_2:⒈对于v,当son[v]存在(即v不是叶子节点)时,显然有top[son[v]] = top[v]。线段树中,v的重边应当在v的父边的后面,记w[son[v]] = totw+1,totw表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时,为了使一条重链各边在线段树中连续分布,应当进行dfs_2(son[v]);
              ⒉对于v的各个轻儿子u,显然有top[u] = u,并且w[u] = totw+1,进行dfs_2过程。
           这就求出了top和w。
    将树中各边的权值在线段树中更新,建链和建线段树的过程就完成了。

修改操作:例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。
    一般人需要先求LCA,然后慢慢修改u、v到公共祖先的边。而高手就不需要了。
    记f1 = top[u],f2 = top[v]。
    当f1 <> f2时:不妨设dep[f1] >= dep[f2],那么就更新u到f1的父边的权值(logn),并使u = fa[f1]。
    当f1 = f2时:u与v在同一条重链上,若u与v不是同一点,就更新u到v路径上的边的权值(logn),否则修改完成;
    重复上述过程,直到修改完成。

求和、求极值操作:类似修改操作,但是不更新边权,而是对其求和、求极值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL; const int N=1e4+; int n;
int sz[N];
int fa[N]; //父节点
int son[N]; //重儿子
int d[N]; //深度
int in[N]; //in[i]记录结点i的dfs序 (优先搞定重儿子) ,这决定了该结点在线段树中映射到的位置
int top[N]; //记录结点i所在重链的起始结点
int time_tag; //时间戳
int lt[N]; //仅对重链的起始结点有效
vector<int> adj[N]; struct Edge
{
int u,v,c;
}es[N]; int tree[N<<]; void dfs1(int u,int father,int deep) //预处理出 fa[],sz[],d[],son[]
{
d[u]=deep;
sz[u]=;
fa[u]=father;
for(int v:adj[u])
{
if(v==father) continue;
dfs1(v,u,deep+);
sz[u]+=sz[v];
if(son[u]==-||sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
}
} void dfs2(int u) //预处理出in[],top[]
{
in[u]=++time_tag;
if(son[u]!=-) //存在重儿子
{
top[son[u]]=top[u];//同一重链上的top[]相同
dfs2(son[u]); //优先搞重儿子
}
for(int v:adj[u])
{
if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;
top[v]=v; //开辟一条新的重链
dfs2(v);
}
} void update(int rt,int l,int r,int q,int val)
{
if(l==q&&r==q)
{
tree[rt]=val; //在线段树的叶子上,记录该结点与重儿子间的边权值
return ;
}
int mid=(l+r)>>;
if(q<=mid) update(rt<<,l,mid,q,val);
else update(rt<<|,mid+,r,q,val);
tree[rt]=max(tree[rt<<],tree[rt<<|]);
} int query(int rt,int l,int r,int ql,int qr) //只能对同一条重链上的两个点间的区间最大值进行查询
{
if(l>=ql&&r<=qr) return tree[rt];
int mid=(l+r)>>;
if(ql>mid) return query(rt<<|,mid+,r,ql,qr);
if(qr<=mid) return query(rt<<,l,mid,ql,qr);
return max(query(rt<<,l,mid,ql,qr),query(rt<<|,mid+,r,ql,qr));
} void init()
{
time_tag=;
memset(son,-,sizeof(son));
for(int i=;i<=n;i++) adj[i].clear();
top[]=;
} int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
init();
for(int i=;i<n;i++)
{
int u,v,c;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
es[i]=(Edge){u,v,c};
adj[u].push_back(v);
adj[v].push_back(u);
}
dfs1(,,);
dfs2();
for(int i=;i<n;i++)
{
int u=es[i].u,v=es[i].v;
if(top[u]==top[v]) //u,v在同一条重链上
{
if(d[u]>d[v]) swap(u,v); //使得u在上,v在下
update(,,n,in[u],es[i].c);
}
else //u,v不在同一条重链上
{
if(d[u]<d[v]) swap(u,v); //这样,u变成了一条新的重链的起始结点
lt[u]=es[i].c; //lt[u]表示u与父亲结点间的边权值
}
}
char s[];
while(~scanf("%s",s))
{
if(s[]=='D') break;
if(s[]=='Q')
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
int ans=;
while(top[u]!=top[v])
{
if(d[top[u]]<d[top[v]]) swap(u,v);
if(u!=top[u]) ans=max(ans,query(,,n,in[top[u]],in[u]-));
u=top[u];
ans=max(ans,lt[u]);
u=fa[u];
}
if(d[u]>d[v]) swap(u,v); //使得u在上,v在下,in[u]<in[v]
if(u!=v) ans=max(ans,query(,,n,in[u],in[v]-));
printf("%d\n",ans);
}
else
{
int x,c;
scanf("%d%d",&x,&c);
int u=es[x].u,v=es[x].v;
if(d[u]>d[v]) swap(u,v); //使得u在上,v在下
if(top[u]==top[v]) update(,,n,in[u],c);
else lt[v]=c;
}
}
}
}

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