ZROI 19.08.01 树上数据结构

1.总览

• LCT

• 链分治（树剖）

• 点/边分治

2.点分治

• 一棵树，点有\(0/1\)，多次修改，询问最远的两个\(1\)距离。

建出点分树，每个子树用堆维护：①最远的\(1\)距离；②它的每个儿子的①堆顶；

全局维护每棵子树②堆最大的两个值，每次修改暴力改就可以。

时间复杂度\(O(n \log^2n)\)（基本动态点分都是\(\log^2\)以上的复杂度……然而仍然随便过\(10^5\)，小常数可能性微存？）。

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• 一棵树，点有点权，每次询问距离一个点不超过\(k\)的点权和。

每个点维护一个深度数据结构（这里树状数组就可以），询问的时候子树直接查，父亲递归上去。

每个点对每个儿子单独维护一个树状数组，因为计算的时候要差分。

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• 一棵树，度数不超过\(20\)，支持修改点权，求带权重心。

考虑重心在树上转移的过程，如果不是到父亲，显然是走到\(size_y>\frac{size_x}{2}\)的一个子树。

可以用点分树优化这个过程。

每次扫一下所有儿子，找到最优的，直接跳到分治中心递归即可。

由于重心是凸的，可以保证正确性。

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• [Ynoi2011]D1T3

考虑查询的时候，在点分树上找到最浅的一个点\(y\)，满足这个点被保留\([l,r]\)后被\(x\)的连通块包含，则所有\([l,r]\)间的点都在\(y\)的子树里。

对于以\(y\)为分治中心的每个点\(i\)，维护从\(i\)到\(y\)路径上编号最大和最小的点\(\max_i,\min_i\)。

发现点\(i\)在连通块内的充要条件是\([\min_i,\max_i] \subseteq [l,r]\)，转化成了经典二维数点问题。

3.链分治

• \(n\)个点的树，每条边可以切断或不切断，求\(1\)号点连通块大小恰好为\(k\)的方案数，对ntt模数取模。\(n \leq 10^5\)。

一个比较显然的暴力是直接背包，每对点会在\(lca\)处产生一次复杂度，总复杂度\(O(n^2)\)。

观察dp式子\(f_{x,j}=\prod_{y \in son_x}^{\sum_k=j}(f_{y,k}+[k=0])\)，发现很像一个卷积。

考虑链分治，树上轻儿子\(size\)和是\(O(n\log n)\)级别。

所以对于一条重链，可以先递归求出它链上所有轻儿子的生成函数，然后就变成了序列上问题，这个可以分治fft解决。总复杂度\(O(n\log^3n)\)，不过常数很小。

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• [Ynoi2011]D2T3

著名毒瘤题。（我写这题的时候splay和treap都被卡常了，最后换了压缩trie才过）

比较naive的想法是根号分治+\(\log\)数据结构。

发现对于每个大点，修改次数均摊\(O(\sqrt n)\)次，询问次数只有均摊\(O(1)\)次，用分块代替\(\log\)数据结构，可以做到\(O(n\sqrt n)\)。
，
换一种思路，对每个点维护轻儿子，则不在这个集合里的只有重儿子，本身和父亲。修改的时候暴力跳重链就行了。

单次修改\(\log^2n\)，询问\(\log n\)。（实际上有一个\(\log\)的做法）

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• 【集训队互测2016】Unknown

比较naive的想法是离线建出操作树，问题变成了求链上叉积最大值。然而直接维护凸包是\(\log^3 n\)的（树剖+线段树/set+凸包上二分）。

观察在重链上跳的过程，发现除了最后一次，每次都是重链上的一个前缀，那么可以离线询问，对每条重链直接暴力维护前缀凸包，两部分都是\(\log^2n\)。

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• \(n\)个点的树，\(q\)次操作，支持修改点权，询问最大权联通子图。\(n, q \leq 10^5\)。

考虑序列上怎么做，发现就是一个经典的线段树题。

把它搬到树上，发现就是一个动态dp，做完了。

4.LCT

• 动态dp：只要满足dp式子具有可合并性，即，两个操作复合之后可以变成同样形态，只是系数不同的操作，就可以用动态dp维护。

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• \(n\)个人，\(0\)~\(n-1\)，每个人有一个\(a_i\)。初始有一个\(x=0\)，按顺序依次执行每个人，可以选择把\(x\)变成\((x+a_i) \mod n\)，最后\(x\)获胜。每个人的策略都是：只有变了\(x\)必胜，且不变\(x\)不必胜时，他才会变。\(q\)次操作，每次修改某个\(a_i\)，输出操作后谁会获胜。

每轮游戏只会有一个人动手，且动手前后一定是\(i-a_i => i\)。

如果\(i\geq a_i\)，则\(i\)向\(i-a_i\)连边，整个结构形成了一个森林。

所有叶节点为\(f_i=1\)，中间节点为\(\max(0, 1-\sum_{j\in son_i}f_j\)，lct维护动态dp即可。

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• \(n\)个点的点仙人掌，边带权，\(m\)次操作，每次修改一条边权或询问两点间最大流。

最大流=最小割。

最小割如果是环边，就一定会把环上的最小值删掉，不妨把它删掉并把它的权值加到环上的其他边上，lct维护即可。

圆方树也可以做，合理设置边权即可。

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• \(n\)个点的树，\(q\)次操作：增加点权，翻转路径（权值），询问路径和/最大值/最小值。

建两棵splay分别维护权值和形态，保证中序遍历一一对应，修改直接在权值splay上做就好了。

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• CF1137F

发现修改操作和lct中的换根操作一模一样，直接lct维护就行了。需要一个树状数组来维护额外信息。

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• 有\(A,B,C\)三个点集，各有\(n_A,n_B,n_C\)个点。其中\(A\cup B,A\cup C\)分别构成两棵树，\(A\)内部没有边。随机\(i,j\)，删除\([B_1,B_i],[C_1,C_j]\)，问\(A\)仍然联通的概率。\(n_i\leq 10^5\)。

枚举\(i\)，显然\(j\)具有单调性，可以双指针。对于\(AB\)间的每条边，边权设为删除时间，加入\(AC\)边的时候删除\(AB\)间最早删除的边即可，lct随便维护。

不知道为什么这种水题讲了那么久。