Day 1 - 二分

整数二分

我们可以做到每次排除一半的答案，时间复杂度 \(O(\log n)\)。

long long l = L, r = R;
while(l <= r) {
    long long mid = (l + r) >> 1;
    if(mid > x) r = mid - 1;
    else l = mid + 1;
}
long long ans = l;

实数二分

我们规定一个精度 \(eps\)，以此达到整数二分的效果，时间复杂度为 \(O(\log \frac{R-L}{eps})\)。

为了防止精度过度导致死循环，我们可以限制二分次数，如限制为 \(100\) 次。

实际应用

1. 实现求解连续函数的零点（近似解）。

2. \(0/1\) 分数规划。

3. 最小比值生成树。

三分法

三分法衍生自二分法，三分法求单峰函数的峰值。

算法流程

设当前搜索域为 \([l,r]\)，取该区间的三等分点 \(\text{lmid,rmid}\)。

若满足 \(f(\text{lmid})<f(\text{rmid})\)，则可以排除 \([l,\text{lmid}]\)。

若满足 \(f(\text{lmid})=f(\text{rmid})\)，则可以排除 \([l,\text{lmid}] \cup [\text{rmid},r]\)。

若满足 \(f(\text{lmid})>f(\text{rmid})\)，则可以排除 \([\text{rmid},r]\)。

实数三分

double l = L, r = R;
for(int i = 1; i <= 100; i ++) {
    double lmid = l + (r - l) / 3, rmid = r - (r - l) / 3;
    if(f(lmid) < f(rmid)) l = lmid;
    else r = rmid;
}
double ans = f(l);

整数三分

long long l = L, r = R;
while(r - l > 3) {
    long long lmid = l + (r - l) / 3, rmid = r - (r - l) / 3;
    if(f(lmid) < f(rmid)) l = lmid;
    else r = rmid;
}
long long ans = f(l);
for(int i = l + 1; i <= r; i ++) ans = max(ans, f(i));

算法优化

考虑计算时间复杂度，由于每次搜索域缩减到 \(\frac{2}{3}\)。

因此时间复杂度为 \(O(\log_{\frac{3}{2}} \frac{R - L}{eps})\)。

我们完全可以将 \(\text{lmid}\) 和 \(\text{rmid}\) 不断接近，以此达到使 \(\log\) 的底数无限接近 \(2\)。

应用场景

在单峰性/单谷性能够证明的题目中，三分法都能高效地适配。