[HAOI2016] 找相同字符 - 后缀数组,单调栈

[HAOI2016] 找相同字符

Description

给定两个字符串，求出在两个字符串中各取出一个子串使得这两个子串相同的方案数。两个方案不同当且仅当这两个子串中有一个位置不同。 \(n,m \le 200000\)

Solution

将两个字符串按序连接，中间用一个其它字符隔开，新串记为 \(S\) ，那么 \(S[1 , n]\) 为第一个字符串的对应部分， \(S[n+2 ,n+m+1]\) 为第二个字符串对应的部分。预处理出 \(S\) 的后缀数组和高度数组。

我们将这些后缀中起始位置在 \([1,n]\) 内的称为黑后缀， \([n+2,n+m+1]\) 内的成为白后缀。那么我们可以考虑对每个白后缀它与所有黑后缀匹配的答案，这个贡献就是它与所有黑后缀的 \(LCP\) 长度的和。

假设所有后缀的顺序是按后缀排序的，不难想到分为左边的黑后缀和右边的黑后缀两部分，分开处理。

对于所黑后缀在白后缀左边的答案，我们可以按照顺序扫描所有的白后缀，同时维护到当前位置为止，当前位置串与前面任意一个位置串的 \(LCP\) 长度，同时记录它们的和。不难发现这可以用一个单调栈来处理。具体地，我们维护一个单调递增的栈，在栈中需要记录每个元素的下标，配合一个描述黑白后缀的前缀和数组，这样可以快速更新答案。

每当我们扫描到一个白后缀，就把单调栈中的和加进答案。

同理对所有黑后缀在白后缀右边的答案也去这样处理一遍。得到的就是最终的结果。

实现层面上这个题还是挺水了（虽然还是挠了半天毛）

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 500005;
#define reset(x) memset(x,0,sizeof x)
namespace SA
{
int n,m=256,sa[N],y[N],u[N],v[N],o[N],r[N],h[N],T;
char str[N];
void solve()
{
    n=strlen(str+1);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        u[str[i]]++;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        u[i]+=u[i-1];
    for(int i=n; i>=1; i--)
        sa[u[str[i]]--]=i;
    r[sa[1]]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
        r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+(str[sa[i]]!=str[sa[i-1]]);
    for(int l=1; r[sa[n]]<n; l<<=1)
    {
        memset(u,0,sizeof u);
        memset(v,0,sizeof v);
        memcpy(o,r,sizeof r);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            u[r[i]]++, v[r[i+l]]++;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            u[i]+=u[i-1], v[i]+=v[i-1];
        for(int i=n; i>=1; i--)
            y[v[r[i+l]]--]=i;
        for(int i=n; i>=1; i--)
            sa[u[r[y[i]]]--]=y[i];
        r[sa[1]]=1;
        for(int i=2; i<=n; i++)
            r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+((o[sa[i]]!=o[sa[i-1]])||(o[sa[i]+l]!=o[sa[i-1]+l]));
    }
    {
        int i,j,k=0;
        for(int i=1; i<=n; h[r[i++]]=k)
            for(k?k--:0,j=sa[r[i]-1]; str[i+k]==str[j+k]; k++);
    }
}
}

namespace MS
{
int a[N],b[N],c[N],p,ans;
void init()
{
    reset(a);
    reset(b);
    reset(c);
    p=0;
    ans=0;
}
void push(int x,int y)
{
    while(x<=a[p]&&p)
    {
        ans-=(c[b[p]]-c[b[p-1]])*a[p];
        --p;
    }
    a[++p]=x;
    b[p]=y;
    ans+=(c[b[p]]-c[b[p-1]])*x;
}
}

char a[N],b[N];
int n,m,t1,t2,t3,t4,ans;

signed main()
{
    cin>>a+1>>b+1;
    n=strlen(a+1);
    m=strlen(b+1);
    reset(SA::str);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        SA::str[i]=a[i];
    SA::str[n+1]='$';
    for(int i=1; i<=m; i++)
        SA::str[n+i+1]=b[i];
    SA::solve();
    for(int i=1; i<=n+m+1; i++)
        MS::c[i+1]=(SA::sa[i]<=n?1:0);
    for(int i=1; i<=n+m+1; i++)
        MS::c[i]+=MS::c[i-1];
    for(int i=1; i<=n+m+1; i++)
    {
        MS::push(SA::h[i],i);
        if(SA::sa[i]<=n+1)
            continue;
        ans+=MS::ans;
    }
    MS::init();
    for(int i=1; i<=n+m+1; i++)
        MS::c[i+1]=(SA::sa[i]>n+1?1:0);
    for(int i=1; i<=n+m+1; i++)
        MS::c[i]+=MS::c[i-1];
    for(int i=1; i<=n+m+1; i++)
    {
        MS::push(SA::h[i],i);
        if(SA::sa[i]>n)
            continue;
        ans+=MS::ans;
    }
    cout<<ans<<endl;
}