用积分方法求K次方和数列公式

这是我很早以前在高中时发现的一个通用计算K次方和数列公式的方法，很特别的地方是用了微积分中的积分方法。目前我还没有发现有谁提出和我一样的方法，如果哪位读者有相关发现，麻烦告知我。

大家很多人都知道高斯小时候的故事。故事说的是大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题：「把 1到 100的整数写下来，然后把它们加起来！」高斯的计算方法是：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，49＋52＝101，50＋51＝101，一共有50对和为 101的数目，所以答案是 50×101＝5050。

这是数列求和，我们在高中时都学过，用数学式表达就是

然而这个方法用到平方和数列就不行了，用归纳法也很难做出来，而且不通用。

在这里，我介绍一下我自己发现的的一个通用方法，用简单的积分公式可以一级一级很简单的算出K次方和数列的公式。

前后幂和公式关系

K是大于等于0的整数，K次方和数列的公式和(K+1)次方和数列的公式有如下关系

1.前后幂次和公式的关系

C是待定常数。

2.当n为1的 时候，和总是为1

3. 各项表达式都没有常数

 的各项表达式都没有常数。

知道了这三个关系，我们就能从0次方和一直算到k次方数列和。

一、0次方数列和

因为每个数的0次方都等于1，所以

这不需要用到其它算法就可以很简单的得出这一结论。

二、1次方数列和

1次方和数列就是高斯遇到的那个问题，结果就是

在这里，用我的方法就繁琐一些，要把上面0次方和的公式代入到这一步。

当n=1时

所以

最后，1次方和数列的公式是

三、2次方和数列

2次方和数列的表达式如下，有人用数学归纳法得出这一公式，但是我觉得难度比较大。

用我的方法按照上面的步骤大致重复一下，可以很快得出答案。

当n=1时

所以

所以平方和数列公式是

四、3次方和数列

3次方和数列的公式是

我们把2次方和的公式代入到这里，用同样步骤可以得出一样的结果。

当n=1时

所以

三次方和数列的公式是

五、4次方和数列

4次方和数列的公式是

目前我还没有找到别人给出的这个公式的证明方法，找出这一个公式他应该比较困难。

我们还是用我们的方法计算。

当n=1时

所以

所以四次方和数列公式是

可以看出，我的方法是简单的、通用的，只用简单的积分公式就快速计算出K次方和数列公式。