[JZOJ]3413.KC的瓷器

Description

KC来到了一个盛产瓷器的国度。他来到了一位商人的店铺。在这个店铺中，KC看到了一个有n(1<=n<=100)排的柜子，每排都有一些瓷器，每排不超过100个。那些精美的艺术品使KC一下心动了，决定从N排的商品中买下m(1<=m<=10000)个瓷器。

这个商人看KC的脸上长满了痘子，就像苔藓一样，跟精美的瓷器相比相差太多，认为这么精致的艺术品被这样的人买走艺术价值会大打折扣。商人感到不爽，于是规定每次取商品只能取其中一排的最左边或者最右边那个，想为难KC。

现在KC又获知每个瓷器的价值（用一个不超过100的正整数表示），他希望取出的m个商品的总价值最大。

Input

输入文件的第一行包括两个正整数n,m;

接下来2到n+1行，第i行第一个数表示第i排柜子的商品数量Si，接下来Si个数表示从左到右每个商品的价值。

Output

输出文件只有一个正整数，即m个商品最大的总价值。

Sample Input

输入1：

2 3

3 3 7 2

3 4 1 5

输入2：

1 3

4 4 3 1 2

Sample Output

输出1：

15

样例解释1：

取第一排的最左边两个和第二排的最右边那个。总价直为3+7+5=15；

输出2：

9

Data Constraint

对于10%的数据，Si=1,1<=i<=nS_i=1,1<=i<=nSi​=1,1<=i<=n。

对于另外10%的数据，n=1n=1n=1.

Analysis

• 有nnn行，n∈[1,100]n\in[1,100]n∈[1,100]，每行个数有可能不同。
• 一共购买mmm个物品，m∈[1,10000]m\in[1,10000]m∈[1,10000]
• 每行可以购买前iii个物品和后jjj个物品，i,j∈[0,100]i,j \in [0,100]i,j∈[0,100]

Solution

容易发现，每行的最优都可以单独预处理算出，而当每行购买iii个商品的最大价值确定后，就可以转换为一个多重背包问题。

于是预处理每一行的购买iii件商品的最大价值。

设在该行一共有s个商品，购买k个商品，在左边购买m个商品，则在右边购买k−m个商品设在该行一共有s个商品，购买k个商品，在左边购买m个商品，则在右边购买k-m个商品设在该行一共有s个商品，购买k个商品，在左边购买m个商品，则在右边购买k−m个商品

容易得到：

val[k]=∑m=0k(∑i=1mvali+∑j=s−(k−m)+1svalj)val[k] = \sum_{m=0}^k (\sum_{i=1}^m val_i +\sum_{j=s-(k-m)+1}^s val_j)val[k]=∑m=0k​(∑i=1m​vali​+∑j=s−(k−m)+1s​valj​)

当然，区间和我们可以用简单的前缀和算出：

for(int i = 1;i<=s;++i)//处理前缀和为以后求区间和做准备
		sum[i] = sum[i-1] + val[i];

于是上式可以简化成：

设s个商品在左边取了m个，在右边取了k−m个设s个商品在左边取了m个，在右边取了k-m个设s个商品在左边取了m个，在右边取了k−m个

val[k]=summ+sums−sums−(k−m)val[k] = sum_m + sum_s - sum_{s-(k-m)}val[k]=summ​+sums​−sums−(k−m)​

前缀和求区间和：sum[i,j]=sumj−sumi−1sum_{[i,j]}=sum_j-sum_{i-1}sum[i,j]​=sumj​−sumi−1​

由于数据量小，可以直接枚举这个m，得到此时的最大价值。

那么我们就可以用O(s)的复杂度预处理，随后用O(s2s^2s2)的复杂度求出该商品购买所有件数时的最大价值。

其中s∈[1,100]s\in[1,100]s∈[1,100]，有nnn种商品，n∈[1,100]n\in[1,100]n∈[1,100]，每种都需要O(s2)O(s^2)O(s2)进行预处理，复杂度可能达到O(ns2)O(ns^2)O(ns2)但由于常数很小，还是可以接受的。

	for(register int k = 1;k<=n;++k)//第k种
		for(register int i = 1;i<=s[k][0];++i)
		//表示取i个的时候,s[k][0]代表该商品总个数
			for(register int j = 0;j<=i;++j)
				dp[k][i] = MAX(dp[k][i],\
				sum[k][j] + sum[k][s[k][0]] - sum[k][s[k][0] - i + j]);

接下来就是多重背包问题了:

有n种商品，每种商品有pi个，第i种商品取j个得到的最大价值为sij，有n种商品，每种商品有p_i个，第i种商品取j个得到的最大价值为s_{ij}，有n种商品，每种商品有pi​个，第i种商品取j个得到的最大价值为sij​，

每个商品的体积都为1，容量为m，问最多能取得多大价值。每个商品的体积都为1，容量为m，问最多能取得多大价值。每个商品的体积都为1，容量为m，问最多能取得多大价值。

	//dp[i][j]代表在第i行取j个商品的最大获利
	//f[i][j]代表在前i行取j个商品
	for(register int i = 1;i<=n;++i) //在第i行选商品
		for(register int j = 1;j<=m;++j)//此时一共选择j个商品
			for(register int k = 0;k<=s[i][0] && k <= j;++k)
			{
				//k是在这一行取得多少商品，注意k不能超过当前取商品量
				//当前在前i行取j个商品，在当前行取k个商品，那么就在前i-1行取j-k个商品
				dp[i][j] = MAX(dp[i][j],dp[i-1][j-k] + f[i][k]);
			}

本题结束。

Code

#include <cstdio>
#define MAX(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
void read(int &r)
{
	static char c;
	for(c=getchar();c>'9'||c<'0';c=getchar());
	for(;c<='9'&&c>='0';r=(r<<1)+(r<<3)+c-48,c=getchar());
}
int n,m;
int s[105][105];
int dp[105][10005];//表示从第i排取出j个的最大价值和
int f[105][105];
int sum[105][105];
int main()
{
	read(n);
	read(m);
	for(register int i = 1;i<=n;++i)
	{
		read(s[i][0]);
		for(register int j = 1;j<=s[i][0];++j)
			read(s[i][j]);
	}

	for(register int i = 1;i<=n;++i)//处理前缀和为以后求区间和做准备
		for(register int j = 1;j<=s[i][0];++j)
			sum[i][j] = sum[i][j-1] + s[i][j];

	//每行按行dp算出取n个商品时的最大值
	for(register int k = 1;k<=n;++k)
		for(register int i = 1;i<=s[k][0];++i) //表示取i个的时候
			for(register int j = 0;j<=i;++j)
				f[k][i] = MAX(f[k][i],sum[k][j] + sum[k][s[k][0]] - sum[k][s[k][0] - i + j]);
				//在左边取j个，右边取 i - j个
				//使用前缀和的方法求区间 

	//f[i][j]代表在第i行取j个商品的最大获利
	//dp[i][j]代表在前i行取j个商品
	for(register int i = 1;i<=n;++i) //在第i行选商品
		for(register int j = 1;j<=m;++j)//此时一共选择j个商品
			for(register int k = 0;k<=s[i][0] && k <= j;++k)
			{
				//k是在这一行取得多少商品，注意k不能超过当前取商品量
				//当前在前i行取j个商品，在当前行取k个商品，那么就在前i-1行取j-k个商品
				dp[i][j] = MAX(dp[i][j],dp[i-1][j-k] + f[i][k]);
			}
	printf("%d",dp[n][m]);
	return 0;
}