[jzoj]2538.【NOIP2009TG】Hankson 的趣味题

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　　https://jzoj.net/senior/#main/show/2538

Description

　　Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x 满足

　　1、x 和a0 的最大公约数是a1；　　

　　2、x 和b0 的最小公倍数是b1。

　　Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

Solution

50分

　　显然，答案肯定是最大公约数的倍数，枚举那个数即可。

100分

　　如果存在两个数，a,b，分解质因数得

　　a=p1^q1*p2^q2*p3^q3......

　　b=pp1^qq1*pp2^qq2*pp3^qq3......

　　那么，最大公约数和最小公倍数分别如下。

　　gcd(a,b)=p1^min(q1,qq1)p2^min(q2,qq2)p3^min(q3,qq3)......

　　lcm(a,b)=p1^max(q1,qq1)p2^max(q2,qq2)p3^max(q3,qq3)......

　　我们根据这个关系，将题目所给的lcm，也就是b1分解质因数，根据第二条，我们枚举他每个质因数的指数，判断答案即可。

　　注意卡常。

Code

{$inline on}
var
        n,x,i,j,g,a0,a1,b0,b1,now,ans:longint;
        sm:array[..,..] of longint;
function gcd(x,y:longint):longint; inline;
begin
        if x mod y= then exit(y);
        exit(gcd(y,x mod y));
end;

procedure dg(k:longint;ka:int64);
var
        i:longint;
begin
        if k>g then
        begin
                if (gcd(ka,a0)=a1) and (ka div gcd(ka,b0)*b0=b1) then
                        inc(ans);
                exit;
        end;

        for i:= to sm[k,] do
        begin
                dg(k+,ka);
                ka:=ka*sm[k,];
        end;
end;
begin
        readln(n);
        for i:= to n do
        begin
                readln(a0,a1,b0,b1);
                x:=b1;
                g:=;
                fillchar(sm,sizeof(sm),);

                for j:= to trunc(sqrt(b1)) do
                begin
                        if x mod j= then
                        begin
                                inc(g);
                                sm[g,]:=j;
                                while x mod j= do
                                begin
                                        x:=x div j;
                                        inc(sm[g,]);
                                end;
                                if x= then break;
                        end;
                end;

                if x> then
                begin
                        inc(g);
                        sm[g,]:=x;
                        sm[g,]:=;
                end;
                ans:=;

                dg(,);

                writeln(ans);
        end;
end.