[问题2015S13]  设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 定义函数 \[f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.\] 设 \(P\) 为 \(n\) 阶非异实矩阵, 满足: 对任意的 \(A\in M_n(\mathbb{R})\), 成立 \[f(PAP^{-1})=f(A).\] 证明: 存在非零实数 \(c\), 使得 \(PP'=cI_n\).

注  这是 [问题2014S08] 实数域上的版本，当时我们用的是基础矩阵的方法来证明的。现在，我要求大家用第九章内积空间的方法来重新证明它。以下是两种可选择的方法，请大家自行选择其中的一种来进行证明：

(1) 引入 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的 Frobenius 内积, 并构造一个线性算子, 然后证明它是正交算子, 并用正交算子的伴随刻画 (复旦高代书定理 9.4.2) 来证明本题;

(2) 对 \(P\) 进行奇异值分解 (复旦高代书推论 9.9.1), 并将 \(P\) 化约为对角阵的情形来证明本题.

问题解答请在以下网址下载：http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0

[问题2015S13] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第十四教学周）的更多相关文章

  1. [问题2015S03] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第四教学周）

    [问题2015S03]  设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的多项式, \(V\) 是 \(\math ...

  2. [问题2014A02] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第四教学周）

    [问题2014A02]  求下列 \(n\) 阶行列式的值, 其中 \(a_i\neq 0\,(i=1,2,\cdots,n)\): \[ |A|=\begin{vmatrix} 0 & a_ ...

  3. [问题2014S04] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第四教学周）

    [问题2014S04]  设 \(A\in M_n(\mathbb{C})\) 为可对角化的 \(n\) 阶复方阵, \(f(x)\in\mathbb{C}[x]\) 为复系数多项式, 证明: \[B ...

  4. [问题2015S02] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第三教学周）

    [问题2015S02]  设 \(a,b,c\) 为复数且 \(bc\neq 0\), 证明下列 \(n\) 阶方阵 \(A\) 可对角化: \[A=\begin{pmatrix} a & b ...

  5. [问题2015S04] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第五教学周）

    [问题2015S04] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, \(C\) 为 \(k\times n\) 矩阵, 且对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{ ...

  6. [问题2015S05] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第六教学周）

    [问题2015S05]  设 \(A\) 是 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\) 可对角化的充分必要条件是 \(A\) 相似于某个如下的循环矩阵: \[C=\begin{pmatrix} a_ ...

  7. [问题2015S06] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第七教学周）

    [问题2015S06]  设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换. (1) 求证: 对任一非零向量 ...

  8. [问题2015S07] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第八教学周）

    [问题2015S07]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异复对称阵 \(S\), 使得 \(A'=S^{-1}AS\), 即 \(A\) 可通过非异复对称阵 ...

  9. [问题2015S10] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第十一教学周）

    [问题2015S10]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异实对称阵 \(R\), 使得 \(A'=R^{-1}AR\), 即 \(A\) 可通过非异实对称阵 ...

随机推荐

  1. jquery_选择器

    jquery选择器:对javascript的操作进行封装. jquery选择器的优点          1,简洁的写法          2,支持css1到css3选择器(拥有跨浏览器的兼容性)    ...

  2. 使用Apache的.htaccess就可以防盗链

    Apache的.htaccess可以实现很多功能,如密码保护.禁止显示目录列表.阻止/允许特定的IP地址.实现网址的301 重定向等等.本文就来说说使用Apache的.htaccess如何防盗链. 当 ...

  3. IOS第二天多线程-03对列组合并图片

    ********* // 2D绘图 Quartz2D // 合并图片 -- 水印 - (void)touchesBegan:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *) ...

  4. IOS第12天(3,UIViewController的生命周期)

    #import "HMViewController.h" @interface HMViewController () @property(nonatomic,strong)NSA ...

  5. 并发队列ConcurrentLinkedQueue和阻塞队列LinkedBlockingQueue用法

    在Java多线程应用中,队列的使用率很高,多数生产消费模型的首选数据结构就是队列(先进先出).Java提供的线程安全的Queue可以分为阻塞队列和非阻塞队列,其中阻塞队列的典型例子是BlockingQ ...

  6. 使用Notepad++代替笨拙的Arduino IDE

    Arduino自带的IDE 太不好用了,下面是用强大,轻量级,免费,开源,丰富插件的的Notepad++编辑器来打造Arduino开发环境 . 配置过程对新生来说可能有些繁琐,但是我尽力写的很详细了, ...

  7. (转载)throw和throws的区别

    1.throw:(针对对象的做法)抛出一个异常,可以是系统定义的,也可以是自己定义的.下面举两个例子:抛出Java中的一个系统异常:public class One {public void yich ...

  8. iOS,第三方库使用

    1.ASIHttpRequest网络请求库 2.MBProgressHUD指示层库 3.Toast+UIView提示库 4.SDWebImage图片缓存库 5.MGSwipeTableCell单元格侧 ...

  9. Java Servlet(七)：JavaWeb MVC 操作(jdk7+tomcat7+eclipse)

    之前一段时间一直忙于毕业设计,也没有空学习了,本篇继续学习. 本篇将开始学习java web下使用servlet下来操作数据库,并展示到界面上的使用方法. 新建工程ServletMvc001. 目录结 ...

  10. nmap使用教程

    Nmap是一款开源免费的网络发现(Network Discovery)和安全审计(Security Auditing)工具.软件名字Nmap是Network Mapper的简称.Nmap最初是由Fyo ...