4361: isn

4361: isn

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4361

分析：

　　dp+容斥。

　　首先计算出每个长度有多少种子序列是非降的。这一步可以$n^2logn$求出。dp[i][j]表示长度为i的结尾为j的方案数，用树状数组维护。

　　然后考虑容斥计算答案。长度为i的序列的总共的方案数设为sum[i]，加上所有的操作情况，就是$sum[i] \times (n - i) !$。但是这所有的操作情况中，可能在某个时刻非降了，就要停止。所以减去不合法的。

　　长度为i的序列，在前一个时刻长度一定是i+1，经过一步多余的操作后长度变成了i，（长度i+1的时候已经合法了）。那么枚举长度i+1时的所有操作情况的序列，再减去一次就是长度为i的答案。因为枚举的是i+1所有的操作情况，可能会出现长度i+1的序列也是不合法的，此时照常减去就行，因为长度为i的序列中，也包含了长度为i+2的时候就合法了的序列（就是因为乘上了那个阶乘），多进行了两步操作后到达的现在的状态，同样包含i+3，i+4...

　　$Ans=\sum_{i=1}^n(sum[i]\times (n-i)!-sum[i+1]\times (n-i-1)!\times (i+1))$

　　另一种更为简单易懂的方法

代码：

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 #include<cctype>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<map>
 #define fi(s) freopen(s,"r",stdin);
 #define fo(s) freopen(s,"w",stdout);
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 inline int read() {
     int x=,f=;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-;
     for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*+ch-'';return x*f;
 }

 const int N = ;
 const LL mod = 1e9 + ;

 int a[N], disc[N], sum[N], n;
 LL f[N][N], fac[N];

 #define add(a,b) (a += b), a > mod ? (a -= mod) : a

 struct BIT{
     int sum[N];
     void update(int p,int v) {
         for (; p <= n; p += (p & (-p))) add(sum[p], v);
     }
     int query(int p) {
         int ans = ;
         for (; p; p -= (p & (-p))) add(ans, sum[p]);
         return ans;
     }
 }bit[N];

 int main() {
     n = read();
     for (int i = ; i <= n; ++i) a[i] = read(), disc[i] = a[i];

     int cnt = ;
     sort(disc + , disc + n + );
     for (int i = ; i <= n; ++i) if (disc[i] != disc[cnt]) disc[++cnt] = disc[i];
     for (int i = ; i <= n; ++i) a[i] = lower_bound(disc + , disc + cnt + , a[i]) - disc;

     for (int i = ; i <= n; ++i) f[][i] = 1ll;
     for (int i = ; i <= n; ++i) {
         bit[i - ].update(a[i - ], f[i - ][i - ]);
         for (int j = i; j <= n; ++j) {
             f[i][j] = bit[i - ].query(a[j]);
             bit[i - ].update(a[j], f[i - ][j]);
         }
     }

     LL ans = ;
     fac[] = ;
     for (int i = ; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i - ] * i % mod;
     for (int i = ; i <= n; ++i)
         for (int j = i; j <= n; ++j) add(sum[i], f[i][j]);

     for (int i = ; i <= n; ++i) {
         LL tmp = sum[i] * fac[n - i] % mod - sum[i + ] * fac[n - i - ] % mod * (i + ) % mod;
         if (tmp < ) tmp += mod;
         add(ans, tmp);
     }
     cout << ans;

     return ;
 }