BZOJ5369:[PKUSC2018]最大前缀和(状压DP)

Description

小C是一个算法竞赛爱好者，有一天小C遇到了一个非常难的问题：求一个序列的最大子段和。

但是小C并不会做这个题，于是小C决定把序列随机打乱，然后取序列的最大前缀和作为答案。

小C是一个非常有自知之明的人，他知道自己的算法完全不对，所以并不关心正确率，他只关心求出的解的期望值，

现在请你帮他解决这个问题，由于答案可能非常复杂，所以你只需要输出答案乘上n!后对998244353取模的值，显然这是个整数。

注：最大前缀和的定义：i∈[1,n],Sigma(a_j)的最大值,其中1<=j<=i

Input

第一行一个正整数nnn，表示序列长度。

第二行n个数，表示原序列a[1..n]，第i个数表示a[i]。

1≤n≤20,Sigma(|Ai|)<=10^9,其中1<=i<=N

Output

输出一个非负整数，表示答案。

Sample Input

2
-1 2

Sample Output

3

Solution

首先对于一个序列$[a_1,a_n]$，设最大前缀和的位置为$p$，那么序列$[a_{p+1},a_n]$的任意一个前缀必须都$<=0$。否则的话你用最大前缀和随便加上$[a_{p+1},a_n]$中$>0$的一个前缀就可以得到新的最大前缀和。

预处理：

$sum[S]$表示集合$S$的数字和。

$f[S]$表示钦定集合$S$当最大前缀的合法方案数。

$g[S]$表示集合$S$任意前缀和$<=0$小于$0$的方案数。

那么显然$ans=\sum sum[S]\times f[S]\times g[S']$。其中$S'$是$S$的补集。

$sum$和$g$都是可以直接求的，那么$f$呢？

可以发现，如果$sum[S]>0$，那么把随便一个数放到这个集合$S$的最前面，这个最大前缀和仍然是可以保证合法的。

$ans$最后忘了取模$WA$了好几发……心态崩了

Code

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define N (21)
 #define MOD (998244353)
 using namespace std;

 int n,m,a[N],sum[<<N],cnt[<<N],f[<<N],g[<<N];

 int main()
 {
     scanf("%d",&n); m=(<<n)-;
     for (int i=; i<=n; ++i) scanf("%d",&a[i]);
     for (int i=; i<=n; ++i)
         for (int S=; S<=m; ++S)
             if (S&(<<i-)) sum[S]+=a[i], cnt[S]++;

     for (int S=; S<=m; ++S)
     {
         if (cnt[S]==) {f[S]=; continue;}
         for (int i=; i<=n; ++i)
             if ((S&(<<i-)) && sum[S]-a[i]>)
                 (f[S]+=f[S^(<<i-)])%=MOD;
     }

     g[]=;
     for (int S=; S<=m; ++S)
     {
         if (sum[S]>) {g[S]=; continue;}
         if (cnt[S]==) {g[S]=; continue;}
         for (int i=; i<=n; ++i)
             if (S&(<<i-))
                 (g[S]+=g[S^(<<i-)])%=MOD;
     }
     int ans=;
     for (int S=; S<=m; ++S)
         (ans+=1ll*sum[S]*f[S]%MOD*g[m^S]%MOD)%=MOD;
     ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
     printf("%d\n",ans);
 }