[洛谷P1920]成功密码

题目大意：给你n和x($n\leq 10^{18},0<x\leq 1$)，要你求$\sum_{i=1}^n\frac{x^i}{i}$。

解题思路：首先n大到要用long long存，暴力肯定是不行的。然后我们发现，当i越来越大时，答案几乎不会变，我们可以直接跳出。真的是这样吗？其实当你越加越多，会发现答案有微小的变化，然后你就WA了！

你有没有发现要求的东西和泰勒级数展开公式很相似？

根据泰勒级数展开公式$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...(-1\leq x<1)$，把x用-x替代，发现所有项都变成负数了。

然后可以得：$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...(-1\leq x<1)$。

求出这个极限后，我们计算答案时，发现已经及其接近极限，则跳出循环即可，可以大大减少运算量。

但题目说x可能等于1，然而数据里是没有的(否则时限1小时都算不完)。

注意循环时求$x^i$要用快速幂，否则可能还是会TLE(貌似每次循环乘个x也能AC)。

开始我以为C++的log是以2为底的，为了求ln，用了换底公式$\ln N=\log N / \log e$，后来才知道C++的log以e为底，相当于ln。

C++ Code：

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
ll n;
double x;
double fast_pow(double x,ll i){
	double ans=1;
	while(i){
		if(i&1)ans*=x;
		x*=x;
		i>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>x>>n;
	double lim=-(log(1-x)/log(exp(1)));
	double ans=0.0;
	for(ll i=1;i<=n&&fabs(ans-lim)>1e-7;++i)ans+=fast_pow(x,i)/i;
	cout<<fixed<<setprecision(4)<<ans<<endl;
	return 0;
}