[SDOI2010] 城市规划 题解

前言

题目链接：洛谷。

题意简述

树套环上求至少间隔两个位置的最大独立集。

（树套环，即树上每个结点都是一个结点或环）

题目分析

将题目拆解成树上 DP 和环上 DP 即可。用 tarjan 缩点就行。

树上 DP

先来看看树上 DP。

显然每个点有三个状态：不选中且周围没选中、选中、不选中但在选中的点的旁边。记成 \(f[yzh][0/1/2]\)。设 \(xym\) 是 \(yzh\) 的一个孩子。

先来看看 \(f[yzh][0]\)。由于她不选中，且不在一个选中的旁边，可以从孩子的 \(0\)、\(2\) 状态转移而来。

\[f[yzh][0] = \sum \max \Big \lbrace f[xym][0], f[xym][2] \Big \rbrace
\]

\(f[yzh][1]\)。由于她选中，那么孩子在之前必须没被选中，且不在选中的点的旁边，即只能从孩子的 \(0\) 状态转移而来。注意加上她的价值。

\[f[yzh][1] = \operatorname{val}(yzh) + \sum f[xym][0]
\]

\(f[yzh][2]\)。她能且只能从一个孩子的 \(1\) 状态转移而来，其他儿子要么是 \(0\) 状态，要么是 \(2\) 状态。取最大值。

\[f[yzh][2] = f[xym'][1] + \sum _ {xym \neq xym'} \max \Big \lbrace f[xym][0], f[xym][2] \Big \rbrace
\]

这样，得到 \(20 \%\) 树的部分分。

环上 DP

先把环“拉下来”，即把环按照一定顺序存下来。类似于树，记 \(g[i][0/1/2]\) 表示考虑到了环上前 \(i\) 个点，第 \(i\) 个点状态下最大价值，再记 \(f[i][0/1/2]\) 表示从第 \(i\) 个点，走到子树里，树形 DP 的结果。先不考虑其他的，来看看转移方程。

\(g[yzh][0]\)。在树里，她不能被选中，即 \(f[yzh][0]\)；在环里，前一个位置不能是 \(1\) 状态。

\[g[yzh][0] = f[yzh][0] + \max \lbrace g[yzh - 1][0], g[yzh - 1][2] \rbrace
\]

\(g[yzh][1]\)。不妨把 \(yzh\) 的价值计算到树里。环里前一个位置之前不能选。那么就是 \(f[yzh][1]\) 和 \(g[yzh - 1][0]\) 的和。

\[g[yzh][1] = f[yzh][1] + g[yzh - 1][0]
\]

\(g[yzh][2]\)。这里需要分类讨论，这个 \(2\) 状态可能是应为环里前一个位置是 \(1\) 状态，或者树里达到了 \(2\) 状态。取最大值即可。

\[g[yzh][2] = \max \Big \lbrace g[yzh - 1][1] + f[yzh][0], \max \lbrace g[yzh - 1][0], g[yzh - 1][2] \rbrace + f[yzh][2] \Big \rbrace

\]

以上就是转移方程。重点在环的特殊性。所以套路化地想到，把左侧强制设为某一个状态，那么右侧只有部分状态是有效的。为了之后树形 DP，我们不妨把这个环的“上顶点”移到我们“拉下来”的数组的右侧。

1. 若左侧是 \(0\) 状态。
   
   那么右侧三个状态都合法。
2. 若左侧是 \(1\) 状态。
   
   那么右侧只能是环上 DP 出来的 \(0\) 状态，并且在反映到树形 DP 上时是 \(2\) 状态。
3. 若左侧是 \(2\) 状态。
   
   那么右侧 \(0\) 状态或 \(2\) 状态都是合法的。

这样看起来没有问题了。但是，还是会错，给出我对拍出来的一组数据：

10 11
5 1 1 1 3 5 7 2 8 9
1 2
2 3
3 4
4 5
5 1
6 7
7 8
8 9
9 10
10 6
1 6

答案显然是 \(13\)，可是我们输出了 \(14\)。（好吧，可能有那么一点不显然）

为什么呢？问题就出在了我们对左侧 \(0\) 状态的考虑。这个位置的右边可能后来被选中了，而在树形 DP 上传答案的时候，右侧也是选中的，这样两者中间只间隔了 \(1\) 个，冲突了。

如何解决呢？再强制以下就好了：一遍强制左侧右边那个位置不能选中，就可以放心转移了。

代码

代码实现很清晰。略去了快读。注意用 vector 可能会含泪 MLE \(90\) 分，用链式前向星即可。可能有之前卡空间的遗物？

#include <vector>
#include <array>
#include <cstdio>
#include <stack>
using namespace std;

using node = array<int, 3>;

inline int max(int a, int b, int c) {
	return max(max(a, b), c);
}

struct Graph{
	struct node{
		int to, nxt;
	} edge[2000010 << 1];
	int eid, head[1000010];
	inline void add(int u, int v){
		edge[++eid] = {v, head[u]};
		head[u] = eid;
	}
	inline node & operator [] (const int x){
		return edge[x];
	}
} xym;

int n, m, val[1000010], ans;
vector<int> yzh[1000010];

int dfn[1000010], low[1000010], timer;
stack<int> st;
int sccno[1000010], scc_cnt;
void tarjan(int now, int fr){
	dfn[now] = low[now] = ++timer, st.push(now);
	for (int i = xym.head[now], to; to = xym[i].to, i; i = xym[i].nxt) {
		if (!dfn[to]) tarjan(to, now), low[now] = min(low[now], low[to]);
		else if (to != fr) low[now] = min(low[now], dfn[to]);
	}
	if (low[now] >= dfn[now]){
		++scc_cnt;
		while (true) {
			int tp = st.top(); st.pop();
			yzh[scc_cnt].push_back(tp), sccno[tp] = scc_cnt;
			if (tp == now) break;
		}
	}
}

void move_to_end(vector<int> &vec, int x) {
	vector<int> res;
	int len = vec.size(), pos = 0;
	for (int i = 0; i < len; ++i) {
		if (vec[i] == x) {
			pos = i;
			break;
		}
	}
	for (int i = pos + 1; i < len; ++i)
		res.push_back(vec[i]);
	for (int i = 0; i < pos; ++i)
		res.push_back(vec[i]);
	res.push_back(x);
	vec = move(res);
}

bool vis[1000010];
node dfs(int now, int top, int fa) {
	vis[now] = true;
	move_to_end(yzh[now], top);  // 把 top 放在最后
	int tot = yzh[now].size();
	vector<node> f(tot, {0, 0, 0}), dp(tot, {0, 0, 0});
	for (int i = 0; i < tot; ++i) {
		int son = yzh[now][i];
		f[i][0] = 0, f[i][1] = val[son], f[i][2] = 0;
		int mx = -0x3f3f3f3f;
		for (int j = xym.head[son], to; to = xym[j].to, j; j = xym[j].nxt) {
			int bl = sccno[to];
			if (bl == fa || bl == now) continue;
			node yzh = dfs(bl, to, now);
			f[i][0] += max(yzh[0], yzh[2]);
			f[i][1] += yzh[0];
			f[i][2] += max(yzh[0], yzh[2]);
			mx = max(mx, yzh[1] - max(yzh[0], yzh[2]));
		}
		f[i][2] += mx;
	}
	node res = {-0x3f3f3f3f, -0x3f3f3f3f, -0x3f3f3f3f};

	yzh[now].clear();
	yzh[now].shrink_to_fit();

	if (tot == 1) {
		res[0] = f[0][0];
		res[1] = f[0][1];
		res[2] = f[0][2];
		return res;
	}

	// 左边是空的 并且可能被 1 占用
	dp[0][0] = f[0][0], dp[0][1] = -0x3f3f3f3f, dp[0][2] = -0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i < tot; ++i) {
		dp[i][0] = f[i][0] + max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]);
		dp[i][1] = f[i][1] + dp[i - 1][0];
		dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + f[i][0], max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + f[i][2]);
	}
	res[0] = max(res[0], dp[tot - 1][0]);
	res[2] = max(res[2], dp[tot - 1][2]);

	// 左边是空的 并且不能被 1 占用
	dp[0][0] = f[0][0], dp[0][1] = -0x3f3f3f3f, dp[0][2] = -0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i < tot; ++i) {
		dp[i][0] = f[i][0] + max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]);
		if (i != 1) dp[i][1] = f[i][1] + dp[i - 1][0];
		else dp[i][1] = -0x3f3f3f3f;
		dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + f[i][0], max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + f[i][2]);
	}
	res[0] = max(res[0], dp[tot - 1][0]);
	res[1] = max(res[0], dp[tot - 1][1]);
	res[2] = max(res[2], dp[tot - 1][2]);

	// 左边在真的旁边
	dp[0][0] = -0x3f3f3f3f, dp[0][1] = -0x3f3f3f3f, dp[0][2] = f[0][2];
	for (int i = 1; i < tot; ++i) {
		dp[i][0] = f[i][0] + max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]);
		dp[i][1] = f[i][1] + dp[i - 1][0];
		dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + f[i][0], max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + f[i][2]);
	}
	res[0] = max(res[0], dp[tot - 1][0]);
	res[2] = max(res[2], dp[tot - 1][2]);

	// 左边是真的
	dp[0][0] = -0x3f3f3f3f, dp[0][1] = f[0][1], dp[0][2] = -0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i < tot; ++i) {
		dp[i][0] = f[i][0] + max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]);
		dp[i][1] = f[i][1] + dp[i - 1][0];
		dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + f[i][0], max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + f[i][2]);
	}
	res[2] = max(res[2], dp[tot - 1][0]);

	f.clear(), f.shrink_to_fit();
	dp.clear(), dp.shrink_to_fit();

	return res;
}

signed main() {
	read(n), read(m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) read(val[i]);
	for (int i = 1, u, v; i <= m; ++i) {
		read(u), read(v);
		xym.add(u, v), xym.add(v, u);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (!dfn[i]) tarjan(i, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (!vis[sccno[i]]) {
			node res = dfs(sccno[i], i, 0);
			ans += max(res[0], res[1], res[2]);
		}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

后记 & 反思

没有什么是分类讨论解决不了的。如果有，那是你没有讨论细致。