【bzoj3329】Xorequ 数位dp+矩阵乘法

题目描述

输入

第一行一个正整数，表示数据组数据 ，接下来T行
每行一个正整数N

输出

2*T行
第2*i-1行表示第i个数据中问题一的解，

第2*i行表示第i个数据中问题二的解，

样例输入

1
1

样例输出

1
2

---

题解

数位dp+矩阵乘法

$x\ xor\ 3x=2x$即$x\ xor\ 2x=3x$。而亦或的运算规则为“相同为0，不同为1”，也就是说当且仅当$a\ and\ b$不为0，即有共同的位是1时，$a\ xor\ b\neq a+b$。

所以如果$x$满足条件，则$x$与$2x$没有共同的某位为1，即要求$x$没有连续的两位为1。

那么就可以考虑dp。

设$f[i]$表示$i$位数（可能包含前导零）没有连续的两位为1的数的个数，那么$f[i]$的递推式为斐波那契数列$f[i]=f[i-1]+f[i-2]$，边界条件$f[0]=1,f[1]=2$。

第一问上一个数位dp即可。

第二问直接上矩阵乘法求斐波那契数列即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007;
struct data
{
	ll v[2][2];
	data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}
	data operator*(const data &a)const
	{
		data ans;
		int i , j , k;
		for(i = 0 ; i < 2 ; i ++ )
			for(j = 0 ; j < 2 ; j ++ )
				for(k = 0 ; k < 2 ; k ++ )
					ans.v[i][j] = (ans.v[i][j] + v[i][k] * a.v[k][j]) % mod;
		return ans;
	}
}A , ANS;
ll f[65] , g[65];
data pow(data x , ll y)
{
	data ans;
	ans.v[0][0] = ans.v[1][1] = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = ans * x;
		x = x * x , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
int getp(ll n)
{
	int ans = 0;
	while(n) n >>= 1 , ans ++ ;
	return ans;
}
void init()
{
	int i;
	A.v[1][0] = A.v[0][1] = A.v[1][1] = 1;
	f[0] = 1 , f[1] = 2;
	for(i = 2 ; i <= 62 ; i ++ ) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
ll calc(ll n , int len)
{
	if(len <= 1) return n + 1;
	else if(!(n & (1ll << (len - 1)))) return calc(n , len - 1);
	else if(n & (1ll << (len - 2))) return f[len - 1] + calc((1ll << (len - 2)) - 1 , len - 1);
	else return f[len - 1] + calc(n - (1ll << (len - 1)) , len - 1);
}
int main()
{
	init();
	int T;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		ll n;
		scanf("%lld" , &n);
		printf("%lld\n" , calc(n , getp(n)) - 1);
		printf("%lld\n" , pow(A , n + 1).v[1][1]);
	}
	return 0;
}