C221110C. SolarPea与网格

是怎么想到dp定义的？

思考下面这个情景：

如果一个人在 $x$，另一个人在 $y \ (x \lt y)$，那么在 $x$ 的人会把 $x \lt i \lt y$ 的所有 $i$ 全走一遍，走完之后 $x + 1 = y$。

对于这个情景，我们想到记 $f[i]$ 表示一个人在 $i - 1$，一个人在 $i$ ，跳到终点后的max(前一个人得分减去后一个人得分)。

我们在转移时，先暂时忽略1，2两个点的贡献。最后加一个 $a[1] - a[2]$ 就行。

答案： $f[2]$。

初始化：$f[n] = 0$。

$n$ 是最后一步。因此 dp顺序 是$n \sim i$ 。有转移：

\[f[i] = \max_{j \gt i} a[j] - (s[i] - s[j - 1]) - f[j]
\]

解释一下：由于每次是前一个人先跳，所以他肯定想拿远处很大的一个数（现在不拿就会被对手拿），然后让对手把这一段全部拿掉。最后再把上一步的贡献加上，注意两个人的相对位置翻转了，所以是 $- f[j]$ 而不是 $+ f[j]$。

这是最朴素的式子。

答案就是 $f[2]$。

考虑简化这个式子

我也不知道是怎么注意到可以这么优化的。。。（注意力惊人）

考虑把 $j \gt i$ 的所有 $j$ 分成两类：

$j = i + 1$，则 $f[i] = a[i + 1] - s[i] + s[i] - f[i + 1] = a[i + 1] - f[i + 1]$。
$j > i + 1$，则 $f[i] = \max_{j \gt i + 1} a[j] - s[j - 1] + s[i] - f[j]$。

又因为 $f[i + 1] = \max_{j > i + 1} a[j] - s[j - 1] + s[i + 1] - f[j]$。

两式相减，则 $f[i + 1] - f[i] = s[i + 1] - s[i] = a[i + 1] $。

则 $f[i] = f[i + 1] - a[i + 1]$。

综上：$f[i] = |f[i+ 1] - a[i + 1]|$。

考虑利用绝对值的一些性质

记 $g[i]$ 表示当 $a[n] = i$ 时，$f_2 = g[i]$ 。

结合上面绝对值的式子，可以得到：

\[|\ |\ |\ |f[n] - a[n]\ | - a[n - 1]\ | - a[n - 2] - \cdots| - a[3]\ | = g[i] = f[2]
\]

每增加一个绝对值，对 $g[i]$ 的影响就是先整体向右平移 $a[n]$，然后对于 $i < a[n]$，按 $y$ 轴对称一下。

发现不是很好直接做。考虑用 $deque$ 维护，每次在把 $<a[i]$ 的一段元素再插入队首即可。

值域只有 $10^6$，可以直接维护。

如果 $x$ 极大，那直接一步调到最后就可以（因为肯定最优）。

时间复杂度 $O(\sum_a +q)$。

/*

Think twice, code once

Please check the followings:

1.Array memory

2.Testing sentence

3.if_else condition

4.freopen

5.long long

*/

#include<bits/stdc++.h>

#define F(i,l,r) for(int i(l);i<=(r);++i)

#define G(i,r,l) for(int i(r);i>=(l);--i)

using namespace std;

using ll = long long;

const int N = 2e5 + 5;

const int inf = 1e9;

list<int> g;

int n, q, cnt = 0;

int a[N], s[N], res[N  * 10];

signed main(){

//	freopen("test.in","r",stdin);

//	freopen("game.in","r",stdin);

//	freopen("game.out","w",stdout);

	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);

	cin >> n;

	F(i, 1, n - 1) cin >> a[i], s[i] = s[i - 1] + a[i];

	F(i, 0, s[n - 1] - s[2]) g.push_back(i);

	F(i, 3, n - 1){

		auto it = g.begin();

		F(j, 1, a[i]) ++it, g.push_front(*it);//平移指针, 就相当于是平移图像了

	}

	for(auto x : g) res[++ cnt] = x;

	cin >> q;

	int x;

	while(q --){

		cin >> x;

		if(x + 1 <= cnt) cout << res[x + 1] + a[1] - a[2] << '\n';

		else cout << (x - s[n - 1] + s[2]) + a[1] - a[2] << '\n';

	}

	return 0;

}