Something-Summary

1.Combinatorial Mathematics

1.1 Bell Number:　

\(B_n\)表示元素个数为n的集合划分成若干个不相交集合的方案数。

\(B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^n C(n,k)B_k\).

1.2 Catalan Number:

递推公式： \(h_1 = 1, h_n = \frac{h_{n-1}(4n-2)}{n+1}\).

组合数公式：\(h_n = \frac{C(2n,2)}{n +1} = C(2n,n) - C(2n,n+1)\).

前n项: 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58768

长度为\(n\) 的合法括号匹配为\(h_{n}\), 有 \(n+1\) 个叶子节点的二叉树的形态有 \(h_{n}\) 个.

convex polygon with \(n + 2\) sides can be cut into triangles in \(h_{n}\) different ways.

1.3 Cayley's Theorem:

所有群G同构于在G上的对称群的子群。

拓展版本：对于\(n\) 个点, \(m\)个连通块，每个连通块\(a[i]\)个点，用\(s-1\)条边连通的方案数为\(n^{s-2}a[1]a[2]...a[m]\)。

n个节点（有标号）的树的形态个数为\(n^{n-2}\).。

1.4 Jacobi's Four Square Theorem

设 \(a^2 + b^2 + c^2+d^2 = n\) 的自然整数解的个数为\(r4(n)\), \(d(n)\)为n的约数和，由Jacobi's Four Square Theorem可知，若n是奇数，则\(r4(n) = 8d(n)\), 否则\(r4(n) = 24d(k)\), \(k\)为 \(n\) 去除所有 \(2\) 后的结果。

1.5 Balls and Boxes

k个球	m个盒子	是否允许空盒子	方案数
各不相同	各不相同	是	\(m^k\)
各不相同	各不相同	否	\(m!stirling2(k,m)\)
各不相同	完全相同	是	\(\sum_{i=1}^{m}Stirling2(k,i)\)
各不相同	完全相同	否	\(Stirling2(k,m)\)
完全相同	各不相同	是	\(C_{m + k - 1}^{k-1}\)
完全相同	各不相同	否	\(C_{k-1}^{m-1}\)
完全相同	完全相同	是	\(\frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}\)
完全相同	完全相同	否	\(\frac{x^m}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^3)}\)

1.6 Stirling2第二类斯特林数

\(S(p,k)\):将p个物体划分成k个非空的不可辨别的集合的方案数（第一类为划分为排列）。

\(S(p,k) = kS(p-1,k) + S(p-1,k-1)\)。

\(S(p,0) = 0,p >= 1,S(p,p) = 1\)。

卷积形式\(S(n,m) = \sum\limits_{k=0}^m\frac{(-1)^k}{k!}×\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}\)。

1.7 组合恒等式

2.对称恒等式\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)。

3.吸收恒等式\(\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}\)。

4.加法恒等式\(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)。

5.三项式\(\binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}\)。

6.平行求和\(\sum\limits_{k\leq m}\binom{n+k}{k} = \binom{n + m + 1}{m}\)。

7.范德蒙德卷积\(\sum\limits_{k}\binom{n}{k}\binom{m}{r-k} = \binom{n+m}{r}\)。

1.8 级数

\(\frac{1}{(1+x)^n} = C(n-1,n-1) + C(n,n-1)x + C(n+1,n-1)x^2 + ....C(2n,n-1)x^n\).

1.9 二项式反演

\(a(n) = \sum\limits_{i = 0}^{n}\binom{n}{i}b(i) \to b(n) = \sum\limits_{i = 0}^{n}(-1)^{n - i}\binom{n}{i}a(i)\)

1.10 Polya与Burnside

\(G\)是目标集\([1,n]\)上的置换群，\(c(a_k)\)是在置换\(a_k\)的作用下的不动点。

则等价类的个数等于\(\frac{1}{|G|} * \sum\limits_{i = 1}^gc(a_i)\)。

典型例子包括圆排列，只有一个置换有不动点,个数为n!，所以圆排列的数量要再除\(n\)（共有\(n\)个置换）。

一个置换对应若干个不相交的循环，记下循环的个数为\(\lambda(a_i)\)。

比如旋转这种最常见的操作，转i次对应的循环个数是\(gcd(i,n)\)。

Polya定理: \(L = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{a_i \in G} m ^{\lambda(a_i)}\)，\(m\) 是染色的颜色数。

2.Graph Theory

2.1独立集点覆盖匹配。

二分图：

最小路径覆盖 = 最大独立集 = 总结点数 - 最大匹配 。

最小点覆盖 = 最大匹配数。

任意图：

最大独立集 + 最小点覆盖 = 点数。

最大团 = 补图的最大独立集。

2.2 Matrix-Tree Theorem

\(diag(D)\)为点度数向量生成的对角矩阵，\(G_{xy}\)为邻接矩阵，则\(n-1\)阶子矩阵的行列式值\(det([diag(D) - G_{xy}]_{n-1})\)为生成树的个数。Clayey定理是特殊形式。

2.3平面图

\(F​\)为平面中的分割区域数，\(E​\)为边数，\(V​\)为点数，\(F = E- V +1​\)。

2.4 双连通分量

加最少多少条边使得图变成双连通分量。

缩点成树后计算叶子节点树。

3.Number Theory

3.1 积性函数

\(f(n)\)的定义为正整数域，值域为复数域，\(f(n)\)则为数论函数。

\(f(n)\)为数论函数，对于互质的整数\(p,q\)有$ f(p * q) = f(p) * f(q)$则为积性函数，没有互质条件限制时则被称为完全积性函数。

1.\(id(i) = i\) 单位函数 2.\(e(i) = [i = 1]\) 元函数。

3.\(d(i)\),\(i\)的约数个数 4.\(\sigma(i)\),\(i\)的约数和。

5.\(I(n) = 1\)恒等函数 6.\(\phi(n)\)欧拉函数。

7.\(\mu(n)\), 莫比乌斯函数 。

8.\(\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k\)除数函数，n约数的k次幂和。

单位函数，元函数，单位函数的幂，恒等函数都是完全积性函数。

3.2积性函数性质

\(n = \sum\limits_{d|n}\phi(d)\)。

\(e(n) = \sum\limits_{d|n}\mu(d)\)。

3.3 Dirichlet Product

两个数论函数f和g的Dirichlet卷积为\((f*g)(n) = \sum_{d|n}f(d) * g(\frac{n}{d})\)，Dirichlet卷积满足交换律，结合律，对加法满足分配律。

任意函数和元函数的Dirichlet卷积是函数本身。

恒等函数和莫比乌斯函数的Dirichlet卷积是元函数（3.2.1）。

恒等函数和欧拉函数的Dirichlet卷积是单位函数（3.2.2）。

两个积性函数的Dirichlet卷积是积性函数。

恒等函数\(I\)和莫比乌斯函数\(\mu\)在Dirichlet卷积意义下互为逆元，由此可以得到莫比乌斯反演\(g = f *I, g * \mu = f\)。

3.4恒等式与技巧

1.\(\sum_{i=1}^{n}\sigma_{k}(i) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d|i}d^k = \sum_{d = 1}^nd^k\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)。

2.\([s = \emptyset] = \sum_{t \subset s}(-1)^{|t|}\)。

3.\(n = p^k \to \phi(n) = p^k - p^{k-1}\)。

4.\(s(n) = \sum_{i=1}^{n}i * \lfloor\frac{n}{i}\rfloor = \sum_{i = 1}^{n}\sigma(i)\)。

3.5 拓展欧拉定理

\(a^n \equiv a^{n \ mod \ \phi(p) + \phi(p)} (mod p), (n \geq \phi(p))\)。

3.7 反素数

对于任何正整数n，其约数个数记为\(d(n)\)，如果任意\(i < n\), \(d(i) < d(n)\)，则n被称为反素数，反素数的形式必定为\(n = 2^{t_1} * 3^{t_2} * 5^{t_3} *....\),并且,反\(t1 \geq t2 \geq t3 ....\)，反素数的求解通常使用dfs。建的dfs树形式为，每层若干个节点表示的某个质因子的若干次方。

3.8 证明实例

1.计算\(\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}gcd(i,j)\)。

$f(d) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}[gcd(i,j) == d] $。

\(F(d) = \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^m[d | gcd(i,j)]\)。

显然\(F(d) = \sum\limits_{d|n} f(n)\),自然使用反演\(f(d) = \sum\limits_{d | n}F(n) * \mu(\frac{n}{d})\)。

通过常用的加速技巧，即可在\(O(\sqrt{n})\)时间内完成计算。

2.求第 \(n\) 个非完全平方数

先套一层二分，转化为求\(f(n) = \sum_{i = 1}^{n}\sum\limits_{d}[d * d == n]\)。

这会是一种莫比乌斯式的容斥,也可以构造类似于1的两个函数，筛法求解。

\(f(n) = \sum_{d = 1}^{\sqrt{n}}\mu(d)\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor\)。

3.\(f(n) = rad(n) * \phi(n), g(n) = \sum_{d|n}f(d),h(n) = \sum_{i = 1}^ng(i)\), \(rad(n)\) 是 \(n\) 的因子中最大的无平方因子的因子。

$n = \prod_{i = 1}^tp_i^{k_i} , $ \(rad(n) = \prod_{i = 1}^{t}p_i\)。

\((n,m) = 1,rad(n * m) = rad(n) * rad(m)\) 。

\(f(n)\)为积性函数。

\(g(n) = \sum_{d|n}f(d) = \prod_{i=1}^{t}\sum_{j = 0}^{k_i}f(p_i^j) = \prod_{i = 1}^t(1 + p_i *\sum_{j = 1}^{k_i}\phi(p_i^{j - 1})) = \prod_{i = 1}^t(p_i^{k_i} + 1)\)。

这个式子代表的含义是，每个质因子要么都选，要么都不选，得到的所有乘积。

\(g(n) = \sum_{d | n}[(d,\frac{n}{d}) = 1] * d = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij = n] * i\)。

###\(h(n) = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij = k] * i\)。

\(h(n) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij \leq k] * i\)。

\(h(n) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}[ij\leq n]i\sum\limits_d[d | i][d | j] \mu(d)\)。

\(h(n) = \sum_{d = 1}^{\sqrt{n}}d\mu(d)\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n}[d | i][f | j][ij \leq n]\frac{i}{d}\)。

\(h(n) = \sum\limits_{d = 1}^{\sqrt{n}}d\mu(d)\sum\limits_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum\limits_{j = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[ijd^2 \leq n]i\)。

\(h(n) = \sum\limits_{d = 1}^{\sqrt{n}}d\mu(d)\sum\limits_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d^2}\rfloor}{\lfloor\frac{n}{i * d^2}}\rfloor i\)。

4.杜教筛

求\(f(n) = \sum_{i = 1}^n\phi(i)\)。

\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{d | i}\phi(d) = \frac{n(n + 1)}{2} = \sum_{i = 1}^{n}f(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) = \sum_{i = 1}^n\sum_{d = 1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\phi(d)\)。

4.Calculus

4.1调和级数。

\(\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}\)在 \(n\) 较大时等于\(ln n + r\)。欧拉常数\(r\) 为0.5772156649015328。若有精度问题，请加上 \(\frac{1}{2*n}\)

5.Others

5.1 皮克定理

给定顶点坐标均是整点的简单多边形，面积\(S\)，内部格点\(n\)，边上格点\(s\)。

三者的关系为\(S = n + \frac{s}{2} + 1\)。

5.2 幂和

\(\sum\limits_{i = 1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}\)。

\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\)。

\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2\)。

$\sum\limits_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} $。

\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^5 = \frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}\)。

5.3 计算几何

1.叉积和点积均具有关于向量加减的分配率。

2.多边形的面积等于所有点逆时针排序以后，相邻两个点的向量叉积的结果。

5.4 三角形面积

\(S = a * h / 2\)。

\(S = a * b *c / 4r\) : \(r\) 是外接圆的半径。

\(S = sqrt(p(p - a) * (p - b) *(p - c))\)。

5.5 牛顿迭代

\(x^{'} = x - \frac{f(x)}{f^{'}(x)}\)。

可以用来逼近\(sqrt(n)\)等。